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物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|PHYS3001 Hydrogen atom

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物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|Hydrogen atom

We will consider a hydrogen-like atom consisting of a nucleus with charge $Z e$ and an electron of charge $-e$. The Coulomb potential is attractive and given by
$$V=-\frac{Z e^2}{r}$$
For a bound state the energy is negative $E=-|E|$. It will be convenient to rescale the radial variable $r=r_0 u$ and choose $r_0$ such as to make the energy term equal to $-1 / 4$, that is, $2 \mu E r_0^2 / \hbar^2=-1 / 4$. Then the radial equation takes the form
$$\left(-\partial_u^2+\frac{l(l+1)}{u^2}-\frac{\lambda}{u}+\frac{1}{4}\right) f_{E l}(u)=0$$
where $\lambda=Z e^2 2 \mu r_0 / \hbar^2$. By eliminating $r_0$ we relate the energy and $\lambda$
$$E=-\frac{1}{2 \lambda^2} \mu c^2 Z^2 \alpha^2,$$
where the fine structure constant is used $\alpha=e^2 / \hbar c$. Note also that $r_0$ is related to the Bohr radius $a_0$
$$r_0=\lambda a_0 / 2 Z, \quad a_0=\frac{\hbar^2}{\mu e^2} .$$

物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|Problems

1. Using the equations of motion (6.2) or $(6.7)$ prove that all the constants of motion listed in (6.8) are indeed time independent.
2. Using the basic commutation rules in the laboratory frame or in the center of mass frame, show that all the constants of motion listed in (6.8) commute with the Hamiltonian.
3. Using the commutation rules $\left[r_I, p_J\right]=i \hbar \delta_{I J}$ show that the commutation relation among the spherical variables given in Eq. $(6.30)$ follow, while all other commutators among $\left(r, p_r, \mathbf{\Omega}, \mathbf{L}\right)$ vanish.
4. Use the definition of angular momentum $\mathbf{L}_I$ and the unit vector $\boldsymbol{\Omega}_I$ in terms of the original Cartesian operators $\mathbf{r}_I, \mathbf{p}_I$ and, while keeping track of orders of operators, prove the decomposition of the momentum operator into radial and angular parts as given in (6.31).
5. By using the relations in (6.31) prove that the commutation rules for the radial and angular operators given in (6.30) lead to the Cartesian commutation rules $\left[\mathbf{r}I, \mathbf{p}_J\right]=i \hbar \delta{I J}$.
6. Prove the completeness and orthogonality relations for spherical harmonics of eq.(6.85) by using the properties of associated Legendre polynomials.
7. Write out the 7 independent components of the symmetric traceless tensor $T_{I J K}$ explicitly in terms of $(\theta, \phi)$ and compare them to the 7 spherical harmonics $Y_{3 m}$ given by the general formula. Verify that they agree with each other up to a normalization. (You may cut down your work to 4 functions by taking into account complex conjugation).
8. In two dimensions there is only one component of angular momentum $L_0=r_1 p_2-r_2 p_1$ that corresponds to rotations in the $(1,2)$ plane. What is the differential operator form of $L_0$ in cylindrical coordinates, what are its eigenfunctions and eigenvalues, how many states correspond to the same eigenvalue? Analyze the Laplacian in 2 dimensions in cylindrical coordinates (i.e. $\mathbf{p}^2=-\hbar^2 \nabla^2$ ), and find the radial equation. How do your results compare to the general expressions for $d$-dimensions given in the text?
9. In $d$-dimensions the generator of rotations in the $(I, J)$ plane is written as
$$L_{I J}=r_I p_J-r_J p_I, \quad I, J=1,2, \cdots d .$$
• Show that the $L_{I J}$ commute with all dot products constructed from $(\mathbf{r}, \mathbf{p})$.
• Show that the commutators of these operators satisfy the Lie algebra for $S O(d)$ given in Eq. (9.14).

物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|Hydrogen atom

$$V=-\frac{Z e^2}{r}$$

$$\left(-\partial_u^2+\frac{l(l+1)}{u^2}-\frac{\lambda}{u}+\frac{1}{4}\right) f_{E l}(u)=0$$

$$E=-\frac{1}{2 \lambda^2} \mu c^2 Z^2 \alpha^2,$$

$$r_0=\lambda a_0 / 2 Z, \quad a_0=\frac{\hbar^2}{\mu e^2} .$$

物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|Problems

1. 使用运动方程 (6.2) 或 (6.7)证明 (6.8) 中列出的所有运动常数确实与时间无关。
2. 使用实验室坐标系或质心坐标系中的葚本换向规则，证明 (6.8) 中列出的所有运动常数都与哈密顿量涣向。
3. 使用换向规则 $\left[r_I, p_J\right]=i \hbar \delta_{I J}$ 表明等式中给出的球形宍量之间的换向关系。(6.30)跟随，而所有其他换向器之间 $\left(r, p_r, \boldsymbol{\Omega}, \mathbf{L}\right)$ 消失。
4. 使用角动量的定义 $\mathbf{L}_I$ 和单位向量 $\boldsymbol{\Omega}_I$ 就原始笛卡尔算子而言 $\mathbf{r}_I, \mathbf{p}_I$ 并且，在跟踪算子的顺㶦的同时，证明动量算子分解为 (6.31) 中给出的径向和角部分。
5. 利用 (6.31) 中的关系证明 (6.30) 中给出的径向和角度算子的交换规则导出笛卡尔交换规则 $\$ \backslash l$left [$\backslash m a t h b f{r}$，$\mid$mathbf${p}_{-} J \mid$right$]=i \mid$hbar$\mid$delta$\left.{I}\right}$S. 6. 利用相关勒让德多项式的性质证明方程 (6.85) 的球谐函数的完备性和正交性关系。 7. 写出对称无迹张量的7个独立分量$T_{I J K}$明确地在$(\theta, \phi)$并将它们与 7 个球谐函数进行比较$Y_{3 m}$由通式给出。验证它们在归 8. 在二维空间中只有一个角动量弅量$L_0=r_1 p_2-r_2 p_1$对应于旋转$(1,2)$飞机。的微分算子形式是什么$L_0$在圆柱坐标系 中，它的特征函数和特征值是多少，有多少种状态对应于相同的特征值? 在圆柱坐标系中分析二维辡拉斯算子 (即$\mathbf{p}^2=-\hbar^2 \nabla^2$)，求径向方程。你的结果与一般表达式相比如何$d-$文本中给出的尺寸? 9. 在$d-$维度中的旋转生成器$(I, J)$飞机写成 $$L_{I J}=r_I p_J-r_J p_I, \quad I, J=1,2, \cdots d .$$ • 表明$L_{I J}$与从构造的所有点积通勤$(\mathbf{r}, \mathbf{p})$. • 证明这些算子的交换子满足李代数$S O(d)\$ 在等式中给出。(9.14)。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。