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# 数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|MA2041 The Cayley–Hamilton Theorem

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## 数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|The Cayley–Hamilton Theorem

Since we can add and multiply matrices, we can substitute them into a polynomial. For example, if
$$A=\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \ -2 & 3 \end{array}\right],$$
then the result of substituting $A$ into the polynomial $x^2-3 x+2$ is
$$A^2-3 A+2 I=\left[\begin{array}{ll} -2 & 3 \ -6 & 7 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll} 0 & -3 \ 6 & -9 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll} 2 & 0 \ 0 & 2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{array}\right] .$$

We say that the matrix $A$ satisfies the equation $x^2-3 x+2=0$. (Notice that for the constant term 2 we substituted $2 I$.)

It turns out that, for every $n \times n$ matrix $A$, we can calculate a polynomial equation of degree $n$ satisfied by $A$.

Definition 2.11 Let $A$ be a $n \times n$ matrix. The characteristic polynomial of $A$ is the polynomial
$$c_A(x)=\operatorname{det}(x I-A) .$$
This is a polynomial in $x$ of degree $n$.
For example, if
$$A=\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \ -2 & 3 \end{array}\right]$$
then
$$c_A(x)=\left|\begin{array}{cc} x & -1 \ 2 & x-3 \end{array}\right|=x(x-3)+2=x^2-3 x+2 .$$

## 数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|Definition and basic properties

Definition 3.1 Let $V$ and $W$ be vector spaces over a field $\mathbb{K}$. A function $\alpha$ from $V$ to $W$ is a linear map if it preserves addition and scalar multiplication, that is, if

• $\alpha\left(v_1+v_2\right)=\alpha\left(v_1\right)+\alpha\left(v_2\right)$ for all $v_1, v_2 \in V$;
• $\alpha(c v)=c \alpha(v)$ for all $v \in V$ and $c \in \mathbb{K}$.
Remarks 1. We can combine the two conditions into one as follows:
$$\alpha\left(c_1 v_1+c_2 v_2\right)=c_1 \alpha\left(v_1\right)+c_2 \alpha\left(v_2\right) .$$
1. In other literature the term “linear transformation” is often used instead of “linear map”.
Definition 3.2 Let $\alpha: V \rightarrow W$ be a linear map. The image of $\alpha$ is the set
$$\operatorname{Im}(\alpha)={w \in W: w=\alpha(v) \text { for some } v \in V}$$
and the kernel of $\alpha$ is
$$\operatorname{Ker}(\alpha)={v \in V: \alpha(v)=0}$$

## 数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|The Cayley-Hamilton Theorem

$$A=\left[\begin{array}{llll} 0 & 1 & -2 & 3 \end{array}\right],$$

$$A^2-3 A+2 I=\left[\begin{array}{llll} -2 & 3-6 & 7 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{lll} 0 & -36 & -9 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{llll} 2 & 0 & 0 & 2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{llll} 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] .$$

$$c_A(x)=\operatorname{det}(x I-A) .$$

$$A=\left[\begin{array}{llll} 0 & 1 & -2 & 3 \end{array}\right]$$

$$c_A(x)=|x \quad-12 \quad x-3|=x(x-3)+2=x^2-3 x+2 .$$

## 数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|Definition and basic properties

• $\alpha\left(v_1+v_2\right)=\alpha\left(v_1\right)+\alpha\left(v_2\right)$ 对所有人 $v_1, v_2 \in V$;
• $\alpha(c v)=c \alpha(v)$ 对所有人 $v \in V$ 和 $c \in \mathbb{K}$.
备注 1. 我们可以将两个条件合二为一，如下:
$$\alpha\left(c_1 v_1+c_2 v_2\right)=c_1 \alpha\left(v_1\right)+c_2 \alpha\left(v_2\right) .$$
1. 在其他文献中，术语“线性妾㛟“经常被用来代替“线性映射”。
定义 $3.2$ 让 $\alpha: V \rightarrow W$ 是一个线性映射。的形象 $\alpha$ 是集合
$$\operatorname{Im}(\alpha)=w \in W: w=\alpha(v) \text { for some } v \in V$$
和内核 $\alpha$ 是
$$\operatorname{Ker}(\alpha)=v \in V: \alpha(v)=0$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。