Posted on Categories:数学代写, 谱几何

# 数学代写|谱几何代写Spectral Geometry代考|MATH741 Heat Equation

avatest™

## avatest™帮您通过考试

avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！

•最快12小时交付

•200+ 英语母语导师

•70分以下全额退款

## 数学代写|谱几何代写Spectral Geometry代考|Heat Equation

Throughout this section we assume that $(M, g)$ is a compact Riemannian manifold without boundary. The Heat Operator
$$-\Delta_g+\partial_t$$
acts on functions in $C(M \times(0,+\infty))$ that are $C^2$ on $M$ and $C^1$ on $(0, \infty)$.
The homogeneous heat equation is
$$\left{\begin{array}{ll} \left(-\Delta_g+\partial_t\right) u(x, t)=0 & (x, t) \in M \times(0,+\infty) \ u(x, 0)=f(x) & x \in M \end{array} .\right.$$
The function $u(x, t)$ represents the temperature at the point $x$ at time $t$ assuming that the initial temperature accross the manifolds was given by the function $f(x)$.
Solutions to Heat equation (Exercise 4)

Prove that the temperature of the manifold decreases as time evolves. That is, show that $t \mapsto|u(\cdot, t)|_{L^2}$ is decreasing with $t$.

Using the previous part show that the solution to the Heat Equation is unique.

Definition of the fundamental solution
We say that a fundamental solution of the heat equation is a continuous function $p: M \times M \times(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ which is $C^2$ in $(x, y)$, and $C^1$ with respect to $t$ and such that
$$L_y p=0 \quad \text { and } \quad \lim _{t \rightarrow 0} p(\cdot, y, t)=\delta_y .$$

## 数学代写|谱几何代写Spectral Geometry代考|Weyl’s Law and other high energy asymptotics

Let $(M, g)$ be a compact boundary-less Riemannian manifold. Write
$$0=\lambda_1<\lambda_2 \leq \lambda_3 \leq \ldots$$ for all the Laplace eigenvalues repeated according to their multiplicity. We begin this section by introducing the Zeta function $Z_g:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ $$Z_g(t)=\sum_{j=1}^{\infty} e^{-\lambda_j t} .$$ Since the series is uniformly convergent on intervals of the form $\left[t_0,+\infty\right)$ for all $t_0>0$ we know that $Z_g$ is continuous. We also have that it is decreasing in $t$, that $\lim {t \rightarrow 0^{+}} Z_g(t)=$ $+\infty$, and $\lim {t \rightarrow+\infty} Z_g(t)=0$.
Proposition 7.
$$Z_g(t) \sim \frac{1}{(4 \pi t)^{n / 2}}\left(\operatorname{vol}g(M)+O(t)\right) \quad \text { as } t \rightarrow 0^{+} .$$ Proof. \begin{aligned} Z_g(t) & =\sum{j=0}^{\infty} e^{-\lambda_j t} \ & =\int_M p(x, x, t) d v_g(x) \ & =\frac{1}{(4 \pi t)^{n / 2}}\left(\sum_{j=0}^k t^j \int_M u_j(x, x) d v_g(x)+O\left(t^{k+1}\right)\right) \ & =\frac{1}{(4 \pi t)^{n / 2}}\left(\operatorname{vol}_g(M)+O(t)\right) \end{aligned}

## 数学代写|谱几何代写Spectral Geometry代考|Heat Equation

$$-\Delta_g+\partial_t$$

\$\$
$\backslash$ left {
$$\left(-\Delta_g+\partial_t\right) u(x, t)=0 \quad(x, t) \in M \times(0,+\infty) u(x, 0)=f(x) \quad x \in M$$

\正确的。
$\$ \$$函数 u(x, t) 表示该点的温度 x 在时间 t 假设流形上的初始温度由函数给出 f(x). 热方程的解 (练习 4) 证明流形的温度随着时间的推移而降低。也就是说，表明 t \mapsto|u(\cdot, t)|{L^2 \text { 随差 }} t. 使用前面的部分表明热方程的解是唯一的。 基本解的定义 我们说热方程的甚本解是一个连续函数 p: M \times M \times(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} 这是 C^2 在 (x, y) ，和 C^1 关于 t 这样$$ L_y p=0 \quad \text { and } \quad \lim {t \rightarrow 0} p(\cdot, y, t)=\delta_y .
$$## 数学代写|谱几何代写Spectral Geometry代考|Weyl’s Law and other high energy asymptotics 让 (M, g) 是一个劵凑的无边界黎曼流形。写$$
0=\lambda_1<\lambda_2 \leq \lambda_3 \leq \ldots $$对于所有根据其多重性重复的拉普拉斯特征值。我们从介绍 Zeta 函数开始本节 Z_g:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$$ Z_g(t)=\sum_{j=1}^{\infty} e^{-\lambda_j t} . $$因为级数在以下形式的区间上一致收敛 \left[t_0,+\infty\right) 对所有人 t_0>0 我们知道 Z_g 是连续的。我们还知道它正在减少 t ，那 \lim t \rightarrow 0^{+} Z_g(t)=+\infty ， 和 \lim t \rightarrow+\infty Z_g(t)=0. 提案 7。$$
Z_g(t) \sim \frac{1}{(4 \pi t)^{n / 2}}(\operatorname{vol} g(M)+O(t)) \quad \text { as } t \rightarrow 0^{+} .
$$证明。$$
Z_g(t)=\sum j=0^{\infty} e^{-\lambda_j t} \quad=\int_M p(x, x, t) d v_g(x)=\frac{1}{(4 \pi t)^{n / 2}}\left(\sum_{j=0}^k t^j \int_M u_j(x, x) d v_g(x)+O\left(t^{k+1}\right)\right) \quad=\frac{1}{(4 \pi t)^{n / 2}}\left(\operatorname{vol}_g(M)+O(t)\right)


## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。