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# 计算机代写|计算机图形学代考Computer Graphics代考|CSCI371 3D Objects

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## 计算机代写|计算机图形学代考Computer Graphics代考|3D Objects

As with $2 \mathrm{D}$ objects, we can represent 3D objects in parametric and implicit forms. (There are also explicit forms for 3D surfaces – sometimes called “height fields” – but we will not cover them here).

Implicit: $\left(\bar{p}-\bar{p}_0\right) \cdot \vec{n}=0$, where $\bar{p}_0$ is a point in $\mathbb{R}^3$ on the plane, and $\vec{n}$ is a normal vector perpendicular to the plane.
$\underset{\vec{b}}{\text { A plane can be defined uniquely by three non-colinear points }} \bar{p}_1, \bar{p}_2, \bar{p}_3$. Let $\vec{a}=\bar{p}_2-\bar{p}_1$ and $\vec{b}=\bar{p}_3-\bar{p}_1$, so $\vec{a}$ and $\vec{b}$ are vectors in the plane. Then $\vec{n}=\vec{a} \times \vec{b}$. Since the points are not colinear, $|\vec{n}| \neq 0$

Parametric: $\bar{s}(\alpha, \beta)=\bar{p}_0+\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}$, for $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$.
Note:
This is similar to the parametric form of a line: $\bar{l}(\alpha)=\bar{p}_0+\alpha \vec{a}$.
A planar patch is a parallelogram defined by bounds on $\alpha$ and $\beta$.

## 计算机代写|计算机图形学代考Computer Graphics代考|Surface Tangents and Normals

The tangent to a curve at $\bar{p}$ is the instantaneous direction of the curve at $\bar{p}$.
The tangent plane to a surface at $\bar{p}$ is analogous. It is defined as the plane containing tangent vectors to all curves on the surface that go through $\bar{p}$.
A surface normal at a point $\bar{p}$ is a vector perpendicular to a tangent plane.

Curves on Surfaces
The parametric form $\bar{p}(\alpha, \beta)$ of a surface defines a mapping from 2D points to 3D points: every $2 \mathrm{D}$ point $(\alpha, \beta)$ in $\mathbb{R}^2$ corresponds to a $3 \mathrm{D}$ point $\bar{p}$ in $\mathbb{R}^3$. Moreover, consider a curve $\bar{l}(\lambda)=$ $(\alpha(\lambda), \beta(\lambda))$ in 2D – there is a corresponding curve in 3D contained within the surface: $\bar{l}^*(\lambda)=$ $\bar{p}(\bar{l}(\lambda))$
Parametric Form
For a curve $\bar{c}(\lambda)=(x(\lambda), y(\lambda), z(\lambda))^T$ in 3D, the tangent is
$$\frac{d \bar{c}(\lambda)}{d \lambda}=\left(\frac{d x(\lambda)}{d \lambda}, \frac{d y(\lambda)}{d \lambda}, \frac{d z(\lambda)}{d \lambda}\right) .$$
For a surface point $\bar{s}(\alpha, \beta)$, two tangent vectors can be computed:
$$\frac{\partial \bar{s}}{\partial \alpha} \text { and } \frac{\partial \bar{s}}{\partial \beta}$$

## 计算机代写|计算机图形学代考Computer Graphics代考|3D Objects

A plane can be defined uniquely by three non-colinear points $\bar{p}_1, \bar{p}_2, \bar{p}_3$. 让 $\vec{a}=\bar{p}_2-\bar{p}_1$ 和 $\vec{b}=\bar{p}_3-\bar{p}_1$ ，所以 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 是平面上的向量。然后 $\vec{n}=\vec{a} \times \vec{b}$. 由于点不共线， $|\vec{n}| \neq 0$

## 计算机代写|计算机图形学代考Computer Graphics代考|Surface Tangents and Normals

$$\frac{d \bar{c}(\lambda)}{d \lambda}=\left(\frac{d x(\lambda)}{d \lambda}, \frac{d y(\lambda)}{d \lambda}, \frac{d z(\lambda)}{d \lambda}\right)$$

$$\frac{\partial \bar{s}}{\partial \alpha} \text { and } \frac{\partial \bar{s}}{\partial \beta}$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。