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# 数学代写|数论代写Number Theory代考|STAT721 Random variables

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## 数学代写|数论代写Number Theory代考|Random variables

Let $\mathbf{D}=(\mathcal{U}, \mathrm{P})$ be a probability distribution.
It is sometimes convenient to associate a real number, or other mathematical object, with each outcome $u \in \mathcal{U}$. Such an association is called a random variable; more formally, a random variable $X$ is a function from $\mathcal{U}$ into a set $\mathcal{X}$. If $\mathcal{X}$ is a subset of the real numbers, then $X$ is called a real random variable. When we speak of the image of $X$, we simply mean its image in the usual function-theoretic sense, that is, the set $X(\mathcal{U})={X(u): u \in \mathcal{U}}$.

One may define any number of random variables on a given probability distribution. If $X: \mathcal{U} \rightarrow \mathcal{X}$ is a random variable, and $f: \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{Y}$ is a function, then $f(X):=f \circ X$ is also a random variable.

Example 6.13. Suppose we flip $n$ fair coins. Then we may define a random variable $X$ that maps each outcome to a bit string of length $n$, where a “head” is encoded as a 1-bit, and a “tail” is encoded as a 0-bit. We may define another random variable $Y$ that is the number of “heads.” The variable $Y$ is a real random variable.

## 数学代写|数论代写Number Theory代考|Expectation and variance

Let $\mathbf{D}=(\mathcal{U}, \mathrm{P})$ be a probability distribution. If $X$ is a real random variable, then its expected value is
$$\mathrm{E}[X]:=\sum_{u \in \mathcal{U}} X(u) \cdot \mathrm{P}[u] .$$
If $\mathcal{X}$ is the image of $X$, we have
$$\mathrm{E}[X]=\sum_{x \in \mathcal{X}} \sum_{u \in X^{-1}({x})} x \mathrm{P}[u]=\sum_{x \in \mathcal{X}} x \cdot \mathrm{P}[X=x] .$$
From (6.13), it is clear that $\mathrm{E}[X]$ depends only on the distribution of $X$ (and not on any other properties of the underlying distribution D). More generally, by a similar calculation, one sees that if $X$ is any random variable with image $\mathcal{X}$, and $f$ is a real-valued function on $\mathcal{X}$, then
$$\mathrm{E}[f(X)]=\sum_{x \in \mathcal{X}} f(x) \mathrm{P}[X=x] .$$
We make a few trivial observations about expectation, which the reader may easily verify. First, if $X$ is equal to a constant $c$ (i.e., $X(u)=c$ for all $u \in \mathcal{U})$, then $\mathrm{E}[X]=\mathrm{E}[c]=c$. Second, if $X$ takes only non-negative values (i.e., $X(u) \geq 0$ all $u \in \mathcal{U}$ ), then $\mathrm{E}[X] \geq 0$. Similarly, if $X$ takes only positive values, then $\mathrm{E}[X]>0$.

## 数学代写|数论代写Number Theory代考|Random variables

$$\text { 让 } \mathbf{D}=(\mathcal{U}, \mathrm{P}) \text { 是一个概率分布。 }$$

## 数学代写|数论代写Number Theory代考|Expectation and variance

$$\mathrm{E}[X]:=\sum_{u \in \mathcal{U}} X(u) \cdot \mathrm{P}[u] .$$

$$\mathrm{E}[X]=\sum_{x \in \mathcal{X}} \sum_{u \in X^{-1}(x)} x \mathrm{P}[u]=\sum_{x \in \mathcal{X}} x \cdot \mathrm{P}[X=x] .$$

$$\mathrm{E}[f(X)]=\sum_{x \in \mathcal{X}} f(x) \mathrm{P}[X=x] .$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。