Posted on Categories:abstract algebra, 抽象代数, 数学代写

# 数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|MATH413 Examples of normal subgroups

avatest™

## avatest™帮您通过考试

avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！

•最快12小时交付

•200+ 英语母语导师

•70分以下全额退款

## 数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Examples of normal subgroups

Example 24.8 ( $G$ and ${\varepsilon}$ are normal subgroups). Let $G$ be a group. Then $G$ is its own subgroup, and you’ll show in an exercise at the end of the chapter that $G$ is a normal subgroup of $G$. Moreover, the trivial subgroup ${\varepsilon}$ is normal in $G$. For all $g \in G$, we have $g{\varepsilon}={g}$ and ${\varepsilon} g={g}$, so that $g{\varepsilon}={\varepsilon} g$.

Example 24.9 (Chapter 19, Exercise #16 revisited). Let $K=\left{\varepsilon, r_{90}, r_{180}, r_{270}\right}$ be a subgroup of $D_4$. We found that $a K=K a$ for all $a \in D_4$; i.e., all left and right cosets of $K$ are equal. More specifically,
$$a K=K a= \begin{cases}K & \text { if } a \in K \text { (i.e., } a=\text { rotation) } \ D_4-K & \text { if } a \notin K \text { (i.e., } a=\text { reflection) }\end{cases}$$

Here, $D_4-K$ is the set of elements in $D_4$ that are not in $K$. In other words, $D_4-K=$ $\left{h, v, d, d^{\prime}\right}$, the subset of $D_4$ containing all reflections.

In Example $24.9$ above, $K$ and $D_4$ contain 4 and 8 elements, respectively. Therefore, $\left[D_4: K\right]=2$. It turns out that a subgroup of index 2 is always a normal subgroup. The following theorem is left for you to prove in Chapter 23, Exercise $# 18$.

## 数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Normal subgroup test

Directly showing that a subgroup is normal (i.e., by showing $g H=H g$ for all $g \in G$ ) can be a tedious task. Fortunately, there’s an “easier” way-in quotes, since nothing is easy in abstract algebra! The theorem below is often called the normal subgroup test.
Theorem 24.15 (Normal subgroup test). Let $G$ be a group, and let $H$ be a subgroup of $G$. Then $H$ is normal in $G$ if and only if $g H g^{-1} \subseteq H$ for all $g \in G$.

Remark. Recall from Chapter 12, Exercise #23 that for a fixed $g \in G$, we define $g H g^{-1}=\left{g h g^{-1} \mid h \in H\right}$. Then $g H g^{-1}$ is a subgroup of $G$ and is called a conjugate of $H$.

PROOF. We must prove two implications:

• If $H$ is normal in $G$, then $g H g^{-1} \subseteq H$ for all $g \in G$.
• If $g H g^{-1} \subseteq H$ for all $g \in G$, then $H$ is normal in $G$.

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。