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# 数学代写|密码学代写Cryptography Theory代考|CSE546 Algorithms for computing discrete logarithms

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## 数学代写|密码学Cryptography Theory代考|Algorithms for computing discrete logarithms

Types of algorithms

Algorithms which work in arbitrary groups

Exhaustive search

Shanks’ algorithm

Pollard’s rho algorithm

Algorithms which work in arbitrary groups but require the order of the group to have only small prime factors

Pohlig-Hellman algorithm

Algorithms which only work in certain groups

Index-calculus method

Exhaustive search
Compute
$$\alpha, \alpha^2, \alpha^3, \ldots$$
until $\beta=\alpha^a$ is found.

We compute a new term in the list by multiplying the previous term by $\alpha$

We only store the current element of the list

Total time: $O(n)$

Total space: $O(1)$
Shanks’ algorithm

Let $m=\lceil\sqrt{n}\rceil$

If $\alpha^a=\beta$ then we can write
$$\beta=\alpha^a=\alpha^{m j+i}$$
for $0 \leq j, i<m$

We can now write
$$\alpha^{m j+i}=\alpha^{m j} \alpha^i$$
and hence
\begin{aligned} \beta & =\alpha^{m j} \alpha^i \ \Rightarrow \quad \quad \beta \alpha^{-i} & =\alpha^{m j} \end{aligned}

## 数学代写|密码学Cryptography Theory代考|Pohlig-Hellman

Pohlig-Hellman
Key point:

The run time of Pohlig-Hellman depends on the size of the prime factors of the group order $n$

The implication is that when selecting a group for cryptographic purposes we should ensure that $n$ has at least one large prime factor
Basic idea:

Write the order of the group as
$$n=\prod_{i=1}^k p_i^{c_i},$$
a product of distinct primes $p_i$ to powers $c_i$.

We are trying to compute $a=\log _\alpha \beta$, this is uniquely determined modulo $n$ (the order of the group)

We will instead compute $a\left(\bmod p_i^{c_i}\right)$ for $1 \leq i \leq k$ and

compute $a(\bmod n)$ using the Chinese remainder theorem.
The index calculus method

Can not be used in all groups

We will only consider discrete logarithms in $\mathbb{Z}_p^*$ for $p$ prime with $\alpha$ a primitive element modulo $p$

Faster than the previous algorithms

Resembles a factoring algorithm such as Dixon’s random squares

Under various “reasonable” assumptions the pre-computation phase has asymptotic running time
$$O\left(e^{(1+o(1)) \sqrt{\ln p \ln \ln p}}\right)$$
and then to find a particular discrete logarithm:
$$O\left(e^{(1 / 2+o(1)) \sqrt{\ln p \ln \ln p}}\right)$$

## 数学代写|密码学理论代考|计算离散对数的算法

Pohlig-Hellman算法

$$\alpha, \alpha^2, \alpha^3, \ldots$$

$$\β=alpha^a=alpha^{m j+i}。$$
for $0\leq j, i<m$

$$\δα^{m j+i}=α^{m j}. \α^i$$

\begin{aligned} \β & =\α^{m j} \α^i \Rightarrow （右）quad （quad）beta （alpha^{-i} & =alpha^{m j} ）。 \end{aligned}

## 数学代写|密码学理论代考|Pohlig-Hellman

Pohlig-Hellman

Pohlig-Hellman的运行时间取决于组序$n$的质因数大小。

$$n=prod_{i=1}^k p_i^{c_i}。$$

$$O/left(e^{(1+o(1)) \sqrt{ln p \ln p}}/right)$$

$$Oleft(e^{(1 / 2+o(1)) \sqrt{ln p \ln p}}right)$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。