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# 数学代写|数论代写Number Theory代考|MATH25 Zero divisors and integral domains

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## 数学代写|数论代写Number Theory代考|Zero divisors and integral domains

Let $R$ be a ring. An element $a \in R$ is called a zero divisor if $a \neq 0_R$ and there exists non-zero $b \in R$ such that $a b=0_R$.

If $R$ is non-trivial and has no zero divisors, then it is called an integral domain. Put another way, a non-trivial ring $R$ is an integral domain if and only if the following holds: for all $a, b \in R, a b=0_R$ implies $a=0_R$ or $b=0_R$.

Note that if $u$ is a unit in $R$, it cannot be a zero divisor (if $u b=0_R$, then multiplying both sides of this equation by $u^{-1}$ yields $b=0_R$ ). In particular, it follows that any field is an integral domain.

## 数学代写|数论代写Number Theory代考|Subrings

Definition 9.8. A subset $S$ of a ring $R$ is called a subring if
(i) $S$ is a subgroup of the additive group $R$,
(ii) $S$ is closed under multiplication, and
(iii) $1_R \in S$.
It is clear that the operations of addition and multiplication on a ring $R$ make a subring $S$ of $R$ into a ring, where $0_R$ is the additive identity of $S$ and $1_R$ is the multiplicative identity of $S$. One may also call $R$ an extension ring of $S$.

Some texts do not require that $1_R$ belongs to a subring $S$, and instead require only that $S$ contains a multiplicative identity, which may be different than that of $R$. This is perfectly reasonable, but for simplicity, we restrict ourselves to the case when $1_R \in S$.

Expanding the above definition, we see that a subset $S$ of $R$ is a subring if and only if $1_R \in S$ and for all $a, b \in S$, we have
$$a+b \in S, \quad-a \in S \text {, and } a b \in S \text {. }$$

## 数学代写|数论代写数论代考|零除数与积分域

$$a+b\in S, 夸父-a\in S /text {, and } a b\in S /text {. }$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。