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# 统计代写|抽样理论代考Sampling Theory代写|SOCI754 Raj’s Estimator and its Variance

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## 统计代写|抽样理论代考Sampling Theory代写|Raj’s Estimator and its Variance

Let us now consider the following ordered estimators for the total $Y$ based on the ordered sample $s_o=\left(i_1, \ldots, i_n\right)$.
$$t(1)=\frac{\gamma_{i_1}}{p_{i_1}}, t(2)=\gamma_{i_1}+\frac{y_{i_2}}{p_{i_2}}\left(1-p_{i_1}\right)$$

and in general
$$t(r)=y_{i_1}+\cdots+y_{i_{r-1}}+\frac{y_{i_r}}{p_{i_r}}\left(1-p_{i_1}-\cdots-p_{i_{r-1}}\right) \text { for } r=2, \ldots, n$$
The properties of ordered estimators are stated in the following theorem.
Theorem 5.3.1
(i) $E[t(r)]=Y$
(ii) $\operatorname{Var}[t(r)] \leq \operatorname{Var}[t(r-1)]$ for $r=2, \ldots, n$
(iii) $\operatorname{Cov}[t(r), t(k)]=0$ for $r \neq k$

## 统计代写|抽样理论代考Sampling Theory代写|Rao-Blackwellization

It should be noted that Raj’s (1956) estimator $\widehat{Y}{R A}$ is an ordered estimator because it depends on the order of selection of units in the ordered sample. Raj’s estimator based on the ordered sample $s_o=(i, j)$ is $\widehat{Y}{R A}\left(s_o\right)=\frac{1}{2}\left[\frac{y_i}{p_i}\left(1+p_i\right)+\frac{y_j}{p_j}\left(1-p_i\right)\right]$, which is quite different from Raj’s estimator $\widehat{Y}_{R A}\left(s_o^\right)=\frac{1}{2}\left[\frac{y_j}{p_j}\left(1+p_j\right)+\frac{y_i}{p_i}\left(1-p_j\right)\right]$, which is based on the ordered sample $s_o^=(j, i)$. Murthy (1957) improved Raj’s estimator by using Rao-Blackwellization as follows.

Murthy (1957) symmetrized Raj’s estimator by taking the weighted average of Raj’s estimators using weights proportional to the probability of selection of the ordered samples. So, Murthy’s estimator derived from the ordered samples $s_o=(i, j)$ or $s_o^=(j, i)$ is given by \begin{aligned} \widehat{Y}M & =\frac{\widehat{Y}{R A}\left(s_o\right) p\left(s_o\right)+\widehat{Y}_{R A}\left(s_o^\right) p\left(s_o^\right)}{p\left(s_o\right)+p\left(s_o^\right)} \ & =\frac{\frac{y_i}{p_i}\left(1-p_j\right)+\frac{y_j}{p_j}\left(1-p_i\right)}{\left(2-p_i-p_j\right)} \end{aligned}

# 抽样理论代写

## 统计代写|抽样理论代考代写|Raj的估计器及其方差

$$s_o=\left(i_1, \ldots, i_n\right) \text {. }$$
$$t(1)=\frac{\gamma_{i_1}}{p_{i_1}}, t(2)=\gamma_{i_1}+\frac{y_{i_2}}{p_{i_2}}\left(1-p_{i_1}\right)$$

$$t(r)=y_{i_1}+\cdots+y_{i_{r-1}}+\frac{y_{i_r}}{p_{i_r}}\left(1-p_{i_1}-cdots-p_{i_{r-1}}\right) { for } r=2, \ldots, n$$

(i) $E[t(r)]=Y$
(ii) $operatorname{Var}[t(r)] \leq operatorname{Var}[t(r-1)]$ 对于 $r=2, \ldots, n$
(iii) $operatorname{Cov}[t(r), t(k)]=0$ for $r\neq k$

## 统计代写|抽样理论代考|Rao-Blackwellization

$widehat{Y} R A\left(s_o\right)=\frac{1}{2}\left[\frac{y_i}{p_i}\left(1+p_i\right)+\frac{y_j}{p_j}\left(1-p_i\right)\right]$，这与Raj的估计器完全不同
Missing \left或extra \right，后者是基于有序样本$s_o^{=}(j, i)$。Murthy（1957）通过使用Rao-Blackwellization改进了Raj的估计器，具体如下。

Murthy（1957）通过使用与有序样本的选择概率成比例的权重，对Raj的估计器进行了对称化，取其加权平均。因此，Murthy从有序样本$s_o=(i, j)$或$s_o^{=}(j, i)$得出的估计器为
Missing lleft or extra right }

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。