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# 数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|CSC4512 Seeking another BFS

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## 数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|Seeking another BFS

If $x=\left(x_B, x_N\right)=\left(B^{-1} b, 0\right)$ is a BFS and does not satisfy the sufficient conditions for optimality, there must be an index $s$ such that $z_s-c_s>0$. Assume that for such an $s$ it has been decided to increase the nonbasic variable $x_s$ while holding all other nonbasic variables at the value 0 . Given that we must maintain feasibility, how much can $x_s$ be increased? What will happen when this is done?
Example 3.7: MAINTAINING FEASIBILITY. In the linear program
$$\begin{array}{lcr} \operatorname{minimize} & -7 x_2+4 x_3-3 x_5 & \ \text { subject to } & 6 x_2+x_4 & =12 \ & 2 x_2+4 x_3+x_5+x_6 & =10 \ & x_1-x_2+2 x_3-x_5 & =14 \ & x_j \geq 0, \quad j=1, \ldots, 6, \end{array}$$
we have 3 equations and 6 variables. We may regard the matrix $B=$ $\left[\begin{array}{lll}A_{\bullet} & A \cdot 6 & A \cdot 1\end{array}\right]$ as a feasible basis (even though the three columns of $B$ are not the first three columns of $A$ ). The corresponding BFS
$$\left(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6\right)=(14,0,0,12,0,10)$$
is clearly nonoptimal. Indeed, $c_B=0$, so $z_j=c_B^{\mathrm{T}} B^{-1} A_{\bullet} j=0$ for all $j \in N$. In particular, we have $z_2-c_2=0+7>0$ and $z_5-c_5=0+3>0$. Since the basic variables are all positive, we can decrease $z$ by increasing $x_2$ or by increasing $x_5$ without losing the feasibility of the solution generated.

## 数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|Basic variables as functions of a single nonbasic variable xs

Assume that the variables $x_{j_1}, x_{j_2} \ldots, x_{j_m}$ are basic. With $x_j=0$ for all $j \in N, j \neq s$, we can write
\begin{aligned} x_B & =B^{-1} b-B^{-1} A \cdot s x_s \ & =\bar{b}-\bar{A} \cdot{ }{\bullet} x_s \end{aligned} or, in more detail, $$\left[\begin{array}{c} x{j_1} \ x_{j_2} \ \vdots \ x_{j_m} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} \bar{b}1 \ \bar{b}_2 \ \vdots \ \bar{b}_m \end{array}\right]-\left[\begin{array}{c} \bar{a}{1 s} \ \bar{a}{2 s} \ \vdots \ \bar{a}{m s} \end{array}\right] x_s=\left[\begin{array}{c} \bar{b}1-\bar{a}{1 s} x_s \ \bar{b}2-\bar{a}{2 s} x_s \ \vdots \ \bar{b}m-\bar{a}{m s} x_s \end{array}\right] .$$

## 数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|寻求另一个BFS

$$\纹理 { 最小化 } \夸7 x_2+4 x_3-5 夸{受制于}。\6 x_2+x_4\quad=12\quad 2 x_2+4 x_3+x_5+x_6=10\quad x_1-x_2+2 x_3-x_5=14 \quad x_j geq 0, \quad j=1, \ldots, 6,$$

$$\left(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6\right)=(14,0,0,12,0,10)$$

## 数学代写|优化理论代写优化理论代考|基本变量作为单一非基本变量$x的函数/mathbf{s}$

$$x_B=B^{-1} b-B^{-1} A \cdot s x_s \quad=bar{b}-bar{A}。\cdot \bullet x_s$$

$$\left[{ }{x j_1} x{j_2} \vdots x_{j_m}\right]=left[\bar{b} 1 \bar{b}_2 \vdots \bar{b}_mright]- [x_s=left[\bar{b} 1-\bar{a} 1 s x_s \bar{b} 2-\bar{a} 2 s x_s。\杠{b}m-杠{a}m s x_s\right] 。`text {. }$$

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。