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## 数学代写|勒贝格积分代写Lebesgue Integration代考|Hilbert Space

In this chapter we want to define the Lebesgue integral in a fashion which is analogous to our definitions of regulated integral and Riemann integral from Chapter 1. The difference is that we will no longer use step functions to approximate a function we want to integrate, but instead will use a much more general class called simple functions.
Definition 3.1.1. (Characteristic function). If $A \subset[0,1]$, its characteristic function $\mathfrak{X}A(x)$ (sometimes called the indicator function) is defined by $$\mathfrak{X}_A(x)= \begin{cases}1, & \text { if } x \in A ; \ 0, & \text { otherwise } .\end{cases}$$ Definition 3.1.2. (Measurable partition). A finite measurable partition of $[0,1]$ is a collection $\left{A_i\right}{i=1}^n$ of measurable subsets which are pairwise disjoint and whose union is $[0,1]$.

We can now define simple functions. Like step functions these functions have only finitely many values, but unlike step functions the set on which a simple function assumes a given value is no longer an interval. Instead, a simple function is constant on each subset of a finite measurable partition of $[0,1]$.

## 数学代写|勒贝格积分代写Lebesgue Integration代考|Fourier Series

As always we would like to reproduce for a Hilbert space as many properties of $\mathbb{R}^n$ with its usual “dot product” as possible. In $\mathbb{R}^n$ it is very useful to have an orthonormal basis, i.e., a set of $n$ unit vectors $\left{u_i\right}_{i=1}^n$ which are pairwise perpendicular (and which necessarily then span $\mathbb{R}^n$ and are necessarily linearly independent). If we have such an orthonormal basis then it is not difficult to show (see Proposition A.9.8) that if we denote the dot product of $u$ and $v$ by $\langle u, v\rangle$, then for any $v \in \mathbb{R}^n$,
$$v=\sum_{i=1}^n\left\langle v, u_i\right\rangle u_i .$$
Moreover, this expression is unique, i.e., if
$$v=\sum_{i=1}^n a_i u_i$$
for some real numbers $a_i$, then $a_i=\left\langle v, u_i\right\rangle$.

## 数学代写|勒贝格积分代写|勒贝格积分代考|希尔伯特空间

$$\mathfrak{X}_A(x)={1, \quad \text { if } x 处于A中；0, 夸张的文字 { 否则。}$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。