如果你也在 怎样代写表示论Representation Theory MAT4270这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。表示论Representation Theory是数学的一个分支，它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构，并研究这些抽象代数结构上的模块。实质上，表示通过用矩阵及其代数运算（例如，矩阵加法、矩阵乘法）来描述其元素，使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性算子的理论是被充分理解的，所以用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性，有时还能简化更抽象理论的计算。
表示论Representation Theory是一种有用的方法，因为它将抽象代数中的问题简化为线性代数中的问题，这是一个很好理解的主题。此外，一个群（例如）所代表的向量空间可以是无限维的，通过允许它成为例如希尔伯特空间，分析的方法可以应用于群的理论。代表理论在物理学中也很重要，例如，它描述了一个物理系统的对称群是如何影响描述该系统的方程式的解决方案的。代表理论普遍存在于数学的各个领域，原因有二。首先，表征理论的应用多种多样：除了对代数的影响外，表征理论还。
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数学代写|表示论代写Representation Theory代考|Down-Up Representations
Definition 1.5.1 Let $G$ be a Lie group, $H$ a closed subgroup of $G$ and $\pi$ a unitary representation of $G$. The unitary representation $\rho(G, H, \pi)=\operatorname{ind}H^G\left(\pi{\mid H}\right)$ of $G$ is called a down-up representation.
If $G$ is an exponential solvable Lie group, then the following holds [96].
Theorem 1.5.2 Let $G$ be an exponential solvable Lie group and let $H$ be a proper, connected, closed subgroup of $G$. If $\pi$ is a unitary representation of $G$, then the down-up representation $\rho(G, H, \pi)$ is reducible.
Remark 1.5.3 Let $G=\exp \mathfrak{g}$ be an exponential solvable Lie group, let $H=\exp \mathfrak{h}$ be an analytic subgroup, and let $\pi$ be an irreducible unitary representation of $G$.
(1) It follows from Theorem $1.5 .2$ that a down-up representation $\rho(G, H, \pi)$ is irreducible if and only if $\rho(G, H, \pi) \simeq \pi$, and this can occur only if $G=H$.
(2) By Kirillov’s theory there exist a linear form $f$ in $\mathfrak{g}^{\star}$ and a Pukanszky polarization $B=\exp (\mathfrak{b})$ for $f$ such that $\pi=\operatorname{ind}B^G \chi_f$. Suppose that $K=B H$ is a closed subgroup of $G$ and that $\pi{\mid K}$ is irreducible. In this case $\pi_{\mid K}=\operatorname{ind}_B^K \chi_f$.
In fact, since $\pi=\operatorname{ind}B^G \chi_f=\operatorname{ind}_K^G\left(\operatorname{ind}_B^K \chi_f\right)$, it follows that ind ${ }_B^K \chi_f$ is irreducible, and hence equivalent to $\pi{\mid K}$. Therefore $K=G$. Moreover,
$$
\rho(G, H, \pi)=\operatorname{ind}H^G(\pi \mid H)=\operatorname{ind}_H^G\left(\operatorname{ind}_B^G \chi_f \mid H\right)=\operatorname{ind}_H^G\left(\operatorname{ind}{H \cap B}^H \chi_f\right)=\operatorname{ind}{H \cap B}^G \chi_f, $$ which follows from the Mackey subgroup theorem. In this situation we must only apply the results concerning $\operatorname{ind}{H \cap B}^G \chi_f$.
(3) Suppose that $\mathfrak{h}$ is a Pukanszky polarization common to elements of the orbit $G \cdot f=\Omega(\pi)$. Then one can readily see that
$$
\pi_{\mid H} \simeq \int_{\Omega(\pi)}^{\oplus} \chi_l d \Omega(l),
$$
where $d \Omega$ is the canonical measure on the orbit $\Omega(\pi)$. It follows that
$$
\rho(G, H, \pi) \simeq \int_{\Omega(\pi)}^{\oplus} \operatorname{ind}_H^G \chi_l d \Omega(l) \simeq \infty \cdot \pi
$$
数学代写|表示论代写Representation Theory代考|The Down-Up Formula
In this section we prove the orbital spectrum formula for down-up representations of exponential solvable Lie groups.
Theorem 1.5.4 Let $G$ be an exponential solvable Lie group, $H$ be a closed connected subgroup of $G$ with Lie algebra $\mathfrak{h}$, and $\pi$ be an irreducible unitary representation of $G$. Let $d \Omega$ be a canonical measure on the orbit $\Omega(\pi)$, and let $\lambda$ be the Lebesgue measure on $\mathfrak{h}^{\perp}$. Let $\mu_\pi^{G, H}$ be the push-forward of the measure $(d \Omega \times \lambda)$ on $\Omega(\pi) \times \mathfrak{h}^{\perp}$ under the map
$$
\Omega(\pi) \times \mathfrak{h}^{\perp} \rightarrow p(\Omega(\pi)) \times \mathfrak{h}^{\perp} \rightarrow p(\Omega(\pi))+\mathfrak{h}^{\perp} \rightarrow G \cdot\left(p(\Omega(\pi))+\mathfrak{h}^{\perp}\right) / G=G \cdot\left(\Omega(\pi)+\mathfrak{h}^{\perp}\right) / G
$$
The down-up orbital spectrum formula reads
$$
\rho(G, H, \pi) \simeq \int_{G \cdot\left(\Omega(\pi)+\mathfrak{h}^{\perp}\right) / G}^{\oplus} m_\pi(\phi) \pi_\phi d \mu_\pi^{G, H}(\phi)
$$
where
$$
m_\pi(\phi)=\sum_{\Omega^H \in\left[p(\Omega(\pi)) \cap p\left(\Omega\left(\pi_\phi\right)\right)\right] / H} n_\pi^{\Omega^H} n_{\pi_\phi}^{\Omega^H}
$$
with $n_\pi^{\Omega^H}=#\left[\Omega(\pi) \cap p^{-1}\left(\Omega^H\right)\right] / H$ and $n_{\pi_\phi}^{\Omega^H}=#\left[\Omega\left(\pi_\phi\right) \cap p^{-1}\left(\Omega^H\right)\right] / H$.
表示论代写
数学代写|表示论代写Representation Theory代考|Down-Up Representations
定义1.5.1 设$G$是一个李群，$H$是$G$的一个封闭子群，$pi$是$G$的一个单元表示。$G$的单元表示$\rho(G, H, \pi)=\operatorname{ind} H^G(\pi mid H)$被称为下位表示。
如果$G$是一个指数可解的李群，那么下面的情况成立[96]。
定理1.5.2 设$G$为指数可解李群，设$H$为$G$的一个适当的、连接的、封闭的子群。如果$pi$是$G$的一个单元表示，那么下位表示$rho(G, H, \pi)$是可还原的。
备注1.5.3 设$G=\exp \mathfrak{g}$为指数可解李群，设$H=\exp \mathfrak{h}$为分析子群，设$pi$为$G$的不可还原的单元表示。
(1) 由定理1.5.2$可知，当且仅当$rho(G, H, \pi)\simeq \pi$时，一个下行上行表示$rho(G, H, \pi)$是不可还原的，而这只能在$G=H$时发生。
(2) 根据基里洛夫的理论，在$mathfrak{g}^{\star}$中存在一个线性形式$f$和对$f$的普坎斯基极化$B=\exp (b)$，使得$pi=$ ind $B^G \chi_f$。假设$K=B H$是$G$的一个封闭子群，并且$pi\mid K$是不可还原的。在这种情况下，$pi_{mid K}=\operatorname{ind}B^K \chi_f$ 事实上，由于$pi=operatorname{ind}_B^G chi_f$ B^G\chi_f=\operatorname{ind}_K^G\left(\operatorname{ind}_B^K \chi_f\right)$，因此Ind ${ }_B^K \chi_f$是不可还原的，因此等同于$pi \mid K$。因此$K=G$。此外。 $$ \rho(G, H, \pi）=\operatorname{ind} H^G（\pi mid H）=\operatorname{ind}_H^G\left（\operatorname{ind}_B^G \chi_f \mid H\right）=\operatorname{ind}_H^G\left（\operatorname{ind} H\cap B^H \chi_fright）=\operatorname{ind} H \cap B^G \chi_f。 $$ 这是从Mackey子群定理中得出的。在这种情况下，我们必须只应用关于ind $H\cap B^G \chi_f$的结果 (3) 假设$mathrm{h}$是$G\cdot f=\Omega(\pi)$轨道上的元素所共有的Pukanszky极化。那么我们可以很容易地看到 $$ \pi{\mid H} \simeq \int_{\Omega(\pi)}^{\oplus} \chi_l d \Omega(l)。
$$
其中$d\Omega$是轨道上$\Omega(\pi)$的典型度量。由此可见
$$
\rho(G, H, \pi) \simeq\int_{\Omega(\pi)}^{oplus } \operatorname{ind}_H^G\chi_l d \Omega(l) \simeq \infty \cdot \pi
$$
数学代写|表示论代写Representation Theory代考|The Down-Up Formula
在本节中，我们将证明指数可解李群的下行代表的轨道谱公式。
定理1.5.4 设$G$是指数可解李群，$H$是$G$的封闭连接子群，其李代数为$mathfrak{h}$，$pi$是$G$的不可还原的单元表示。让$d\Omega$是轨道$\Omega(\pi)$上的典型度量，让$lambda$是$mathfrak{h}^{perp}$上的Lebesgue度量。让$mu_\pi^{G, H}$成为$Omega(\pi)\times λ)$上的度量的前推，在映射下，$(d\Omega \times λ)$是$mathfrak{h}^{perp}$的前推。
$$
\Omega(\pi) \times mathfrak{h}^{perp}下的映射$Omega(\pi)mathfrak{h}^{perp}。\Rightarrow p(\Omega(\pi)) \times \mathfrak{h}^{perp} \rightarrow p(operp) \rightarrow p(\Omega(\pi))+\mathfrak{h}^{perp}。\G cdot\left(p(\Omega(\pi))+mathfrak{h}^{perp}\right) / G=G cdot\left(\Omega(\pi)+mathfrak{h}^{perp}\right) / G
$$
自下而上的轨道光谱公式为
$$
\rho(G, H, \pi) \simeq\int_{G \cdot\left(\Omega(\pi)+\mathfrak{h}^{perp}\right) / G}^{\oplus} m_\pi(\phi) \pi_\phi d \mu_pi^{G, H}(\phi)
$$
其中
$$
m_\pi(\phi)=\sum_{\Omega^H \in\left[p(\Omega(\pi)) \cap p\left(\Omega\left(\pi_phi\right)\right)] / H} n_{pi^{\Omega^H} n_{pi_phi}^{\Omega^H}。
$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。