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# 数学代写|表示论代写Representation Theory代考|MATH4314 Polarizations

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## 数学代写|表示论代写Representation Theory代考|Polarizations

For any $f$ in $\mathfrak{g}^$ we define the skew-symmetric bilinear form $B_f$ on $\mathfrak{g}$ by the formula $B_f(X, Y)=\langle f,[X, Y]\rangle$. If $\mathfrak{h}$ is a Lie subalgebra of $\mathfrak{g}$, we write $\mathfrak{h}(f)={X \in \mathfrak{g}$ : $\left.B_f(X, \mathfrak{h})={0}\right}$ and $\mathfrak{h}^{\perp}=\left{l \in \mathfrak{g}^: l_{\mid \mathfrak{h}}=0\right}$, where $l_{\mid \mathfrak{h}}$ stands for the restriction of $l$ to $\mathfrak{h}$. If $\mathfrak{h} \subset \mathfrak{h}(f)$, then $\mathfrak{h}$ is said to be a totally isotropic subalgebra for $B_f$. We denote by $i(f, \mathfrak{g})$ the set of maximal, totally isotropic subspaces for $B_f$, and by $S(f, \mathfrak{g})$ the set of all isotropic subalgebras for $B_f$. If $\mathfrak{h}$ is in $S(f, \mathfrak{g})$, we define the unitary character $\chi_f$ of the group $H=\exp \mathfrak{h}$ by
$$\chi_f(\exp Y)=e^{-2 i \pi\langle f, Y\rangle}, Y \in \mathfrak{h} .$$
Let $M(f, \mathfrak{g})$ be the set of elements of $S(f, \mathfrak{g})$ of maximal dimension. An element of $M(f, \mathfrak{g})$ will be called (real) polarization at the linear form $f$. We also call $I(f, \mathfrak{g})$ the subset of $S(f, \mathfrak{g})$ of subalgebras $\mathfrak{b}$ such that $\tau(f)=\tau\left(\chi_f\right)$ is irreducible. We shall simply write $\tau$ instead of $\tau(f)$ when no confusion arises.

## 数学代写|表示论代写Representation Theory代考|Orbit Theory

For $l \in \mathfrak{g}^$, we take a real polarization $\mathfrak{b}$ of $l$ meeting the Pukanszky condition. For such a polarization, define $$\pi_l=\pi_{l, \mathfrak{b}}=\operatorname{ind}B^G \chi_l, \quad B=\exp \mathfrak{b}$$ Then $\pi$ is a unitary and irreducible representation of $G$, and its equivalence class $\left[\pi{l, \mathfrak{b}}\right]$ only depends on the coadjoint orbit of $l$ as of (1.2.1). Moreover, every irreducible representation $\pi$ is equivalent to an induced representation $\pi_{l, \mathfrak{b}}$ for some $l \in \mathfrak{g}^$ and some polarization $\mathfrak{b}$ of $l$ with the character $\chi_l$. The map
$$\Theta_G: \mathfrak{g}^* \longrightarrow \hat{G} ; l \longmapsto\left[\pi_{l, \mathfrak{b}}\right]$$
is called the Kirillov-Bernat mapping, and quotients to a homeomorphism
$$K: \mathfrak{g}^* / G \longrightarrow \hat{G} ; G \cdot l \longmapsto \pi_{l, \mathfrak{b}},$$
when the spaces are endowed with suitable topologies (cf. [24]). The symbols $K$ and $\Theta_G$ may be used interchangeably when no confusion arises.

## 数学代写|表示论代写Representation Theory代考|Polarizations

$$\chi_f(exp Y)=e^{-2 i \pi(f, Y\rangle}, Y\in `mathfrak{h})$$

## 数学代写|表示论代写Representation Theory代考|Orbit Theory

$$\pi_l=\pi_{l, \mathfrak{b}}=\operatorname{ind} B^G \chi_{l,} \quad B=exp \mathfrak{b}$$

$$\Theta_G: \mathfrak{g}^* \longrightarrow hat{G} ; l \longmapst to[\pi l, b] 。$$

$$K: \mathfrak{g}^* / G \longrightarrow hat{G}; G \cdot l \longmapst to pi_{l, \mathfrak{b}}。$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。