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# 数学代写|表示论代写Representation Theory代考|MATH4314 The Key Point Is the Convergence

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## 数学代写|表示论代写Representation Theory代考|The Key Point Is the Convergence

We keep all previous notation. In this last section we shall see that the key point is the convergence of the integral
$$\left(I_{\mathfrak{h}2 \mathfrak{h}_1}^G \varphi\right)(g):=\left(I{\mathfrak{h}2 \mathfrak{h}_1} \varphi\right)(g)=\oint{H_2 /\left(H_1 \cap H_2\right)} \varphi(g h) \chi_f(h) \Delta_{H_2, G}^{-1 / 2}(h) d v(h)(g \in G)$$
At least formally, it is clear that the function $I_{\mathfrak{h}2 \mathfrak{h}_1} \varphi$ satisfies the necessary covariance condition for belonging in the space $\mathscr{H}{\pi_2}$, and also that $I_{\mathfrak{h}2 \mathfrak{h}_1}$ commutes with left translations. We can therefore assert that the convergence of the integral is one major issue to deal with. We call elements of $I(f, \mathfrak{g})$ Pukanszky polarizations. In this section we look at all pairs $\left(\mathfrak{h}_1, \mathfrak{h}_2\right)$ of Pukanszky polarizations at $f$ which meet the following convergence property: $(C P)$ : The integral $$\oint{H_2 /\left(H_1 \cap H_2\right)}|\varphi(g h)| \Delta_{H_2, G}^{-\frac{1}{2}}(h) d v(h), g \in G$$
converges on a $G$-invariant and $\mathscr{U}(\mathfrak{g})$-invariant dense subspace $\mathscr{H}$ of $\mathscr{H}_{\pi_1}^{\infty}$.

## 数学代写|表示论代写Representation Theory代考|Notation and Backgrounds

Let $G$ be a connected and simply connected nilpotent Lie group with Lie algebra $\mathfrak{g}$. Let exp denote, as earlier, the exponential map, so that $G=\exp \mathfrak{g}$. Let $V, W$ be real vector spaces of finite dimension with $W \subset V$. We denote by $V^{\star}$ the dual vector space of $V$ and by $W^{\perp}$ the orthogonal to $W$ in $V^{\star}$. If $u_1, \ldots, u_p,(p \in \mathbb{N})$ indicate linearly independent vectors in $V$, we denote by $\mathbb{R}$-span $\left(u_1, \ldots, u_p\right)$ the vector subspace of $V$ they span, and we say the basis $\left{u_1, \ldots, u_p\right}$ generates this space. Given $l \in \mathfrak{g}^{\star}$ and $X \in \mathfrak{g}$, we denote by $\langle l, X\rangle$ the image of $X$ under $l$. Recall that the kernel of the bilinear form $B_l$, defined in Sect. 1.2.4 by $B_l(X, Y)=$ $\langle l,[X, Y]\rangle$, is denoted by $\mathfrak{g}(l)=\left{X \in \mathfrak{g} ; B_l(X, Y)=0\right.$ for all $\left.Y \in \mathfrak{g}\right}$. The largest ideal contained in $\mathfrak{g}(l)$ will be denoted by $\mathfrak{a}(l)$. Clearly
$$\mathfrak{a}(l)=\bigcap_{\phi \in G \cdot l} \mathfrak{g}(\phi) .$$
Let $\mathfrak{h} \in S(l, \mathfrak{g})$ and let $\chi_l$ be the unitary character of the analytic subgroup $H=$ $\exp h$ associated to $l$ by
$$\chi_l(\exp X)=e^{-i\langle l, X\rangle}$$
for $X \in \mathfrak{h}$.

## 数学代写|表示论代写Representation Theory代考|关键点在于收敛性

$$\left(I_{mathrm{h} 2\mathrm{~h}1}^G\varphi\right)(g)。 =left(I\mathfrak{h} 2\mathfrak{h}_1 \varphi\right)(g)=oint H_2 /\left(H_1 \cap H_2\right) \varphi(g h) \chi_f(h) δ{H_2, G}^{-1 / 2}(h) d v(h) (g\in G)$$

$B_l(X, Y)=\langle l,[X, Y]\rangle$，用Missing或未识别的分隔符表示〈left〉。$mathfrak{g}(l)$中包含的最大理想将用$mathfrak{a}(l)$来表示。显然
$$mathfrak{a}(l)=\bigcap_{phi\subset G-l}。\mathfrak{g}(phi) 。$$

\chi_l(exp X)=e^{-i(l, X\rangle}。

for $X\in mathfrak{h}$ 。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。