Posted on Categories:Atomic and Molecular Physics, 原子物理, 物理代写

# 物理代写|原子物理学代考Atomic Physics代考|PHYS7055 Matrix notation

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## 物理代写|原子物理学代考Atomic Physics代考|Matrix notation

Let us consider the eigenvalue problem
$$\hat{F} \varphi_f=f \varphi_f$$
where $\hat{F}$ is a Hermitian operator with a discrete and non-degenerate spectrum. By making use of the eigenfunctions $\psi_n$ of the Hamiltonian operator, we can write
$$\varphi_f=\sum_n a_n^{(f)} \psi_n$$
so that
\begin{aligned} \hat{F}\left(\sum_n a_n^{(f)} \psi_n\right) & =f\left(\sum_n a_n^{(f)} \psi_n\right) \ \sum_n\left(\hat{F} \psi_n-f \psi_n\right) a_n^{(f)} & =0 . \end{aligned}
If we now multiply on the left by $\psi_m^$ (with $m \neq n$ ) and then integrate over all available space, we get $$\sum_n\left(\int \psi_m^ \hat{F}_{\psi_n} d \mathbf{r}-f \int \psi_m^* \psi_n d \mathbf{r}\right) a_n^{(f)}=0$$

## 物理代写|原子物理学代考Atomic Physics代考|Perturbation theory

Let us consider an initially isolated physical system, whose quantum features are known through the solution of the equation
$$\hat{H}_0 \psi_n^{(0)}=E_n^{(0)} \psi_n^{(0)}$$
where, once again, we assume a discrete and non-degenerate spectrum. Whenever we apply some external field on it we say that we are applying a perturbation, understanding that the ‘perturbation’ is a disturbance of the initial unperturbed state described by $\hat{H}_0$.

If we can describe the physical perturbation by a suitable operator $\hat{H}{\text {pert }}$, then the new quantum problem is described by $$\left(\hat{H}_0+\hat{H}{\text {pert }}\right) \phi=E \phi$$
where new eigenfunctions $\phi$ and new energies $E$ appear. The theory of perturbations aims at elaborating general strategies to solve such an equation. It is suitable to write the perturbation operator as
$$\hat{H}_{\text {pert }}=\lambda \hat{W}$$
where $\lambda$ is a dimensionless real coupling parameter describing the strength of the perturbation: while for small $\lambda$ values the situations described by equations (2.69) and (2.70) are very similar, a large $\lambda$ value will identify very different unperturbed and perturbed physical situations. In most applications we will come across, the perturbation is small, so that the perturbed quantum states do not differ from unperturbed ones to a large extent. This corresponds to a small perturbation strength with respect to the energy spectrum of the unperturbed system. In these situations, we can formally proceed by expanding the perturbation operator in powers of $\lambda$, limiting to the first terms.

## 物理代写|原子物理学代考Atomic Physics代考|Matrix notation

$$\hat{F} \varphi_f=f \varphi_f$$

$$\varphi_f=\sum_n a_n^{(f)} \psi_n$$

$$\hat{F}\left(\sum_n a_n^{(f)} \psi_n\right)=f\left(\sum_n a_n^{(f)} \psi_n\right) \sum_n\left(\hat{F} \psi_n-f \psi_n\right) a_n^{(f)} \quad=0$$

(和 $m \neq n$ ) 然后对所有可用空间进行积分，我们得到

## 物理代写|原子物理学代考Atomic Physics代考|Perturbation theory

$$\hat{H}0 \psi_n^{(0)}=E_n^{(0)} \psi_n^{(0)}$$ 在这里，我们再次假设一个离散且非退化的频谱。每当我们在其上施加一些外部场时，我们就说我们正在施加扰动，理解“扰动”是 对初始末扰动状态的扰动，描述为 $\hat{H}_0$. 如果我们可以通过合适的算子来猫术物理扰动 $\hat{H}$ pert，那么新的量子问题描述为 $$\left(\hat{H}_0+\hat{H} \text { pert }\right) \phi=E \phi$$ 其中新的特征函数 $\phi$ 和新能源 $E$ 出现。扰动理论旨在阐述求解此米方程的一般策略。将扰动算子写成 $$\hat{H}{\text {pert }}=\lambda \hat{W}$$

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。