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# 数学代写|密码学代写Cryptography Theory代考|CMSC456 Homomorphisms of Groups

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## 数学代写|密码学Cryptography Theory代考|Homomorphisms of Groups

If $A$ and $B$ are sets, then the functions $f: A \rightarrow B$ are the basic maps between $A$ and $B$. In this section we introduce group homomorphisms: functions preserving group structure which are the basic maps between groups.

Definition 5.6.1 Let $G, G^{\prime}$ be groups. A map $\psi: G \rightarrow G^{\prime}$ is a homomorphism of groups if
$$\psi(a b)=\psi(a) \psi(b)$$
for all $a, b \in G$.
In additive notation, the homomorphism condition is given as
$$\psi(a+b)=\psi(a)+\psi(b) .$$
For example, the map $\psi: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_n$ given by $\psi(a)=(a \bmod n)$ is a homomorphism of groups since
$$\psi(a+b)=((a+b) \bmod n)=(a \bmod n)+(b \bmod n)=\psi(a)+\psi(b)$$
for all $a, b \in \mathbb{Z}$. The map $\psi: \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^{\times}$defined as $\psi(A)=\operatorname{det}(A)$ is a homomorphism of groups since by a familiar property of determinants,
$$\psi(A B)=\operatorname{det}(A B)=\operatorname{det}(A) \operatorname{det}(B)=\psi(A) \psi(B) .$$

## 数学代写|密码学Cryptography Theory代考|Group Structure

Let $G$ be a group with binary operation $G \times G \rightarrow G,(a, b) \mapsto a b$. Let $a \in G$, and let $n>0$ be a positive integer. Then by the notation $a^n$ we mean
$$a^n=\underbrace{a a a \cdots a}{n \text { times }} .$$ For $n<0$, we write $$a^n=\underbrace{a^{-1} a^{-1} a^{-1} \cdots a^{-1}}{|n| \text { times }} .$$
If $n=0$, we set
$a^0=e$, the identity element of the group.

Now assume that $G$ is an “additive” group, i.e., a group in which the binary operation is written additively as $+$. Let $a \in G$ and let $n>0$ be a positive integer. Then by the notation $n a$ we mean
$$n a=\underbrace{a+a+a+\cdots+a}{n \text { times }} .$$ For $n<0$, we write $$n a=\underbrace{(-a)+(-a)+(-a)+\cdots(-a)}{|n| \text { times }},$$
where $-a$ is the inverse of $a$. If $n=0$, we set
$0 a=0$, the identity element of the group.

## 数学代写|密码学理论代考|群的同构性

$$\psi(a b)=/psi(a) \psi(b)$$

$$\psi(a+b)=\psi(a)+\psi(b)。$$

$$\psi(a+b)=((a+b) \bmod n)=(a \bmod n)+(b \bmod n)=\psi(a)+\psi(b)$$

$$\psi(A B)=operatorname{det}(A B)=operatorname{det}(A) operatorname{det}(B)=psi(A) \psi(B) 。$$

## 数学代写|密码学理论代考|群结构

$$a^n=underbrace{a a a\cdots a} n\text { times } 。$$

$$n a=\underbrace{a+a+a+\cdots+a} n\text { times . }$$

$$n a=underbrace{(-a)+(-a)+(-a)+cdots(-a)}|n| text { times }。$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。