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# 数学代写|密码学代写Cryptography Theory代考|STAT721 Simple Algebraic Extensions

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## 数学代写|密码学Cryptography Theory代考|Simple Algebraic Extensions

Theorem 7.1.15 can be applied in the following important way.
Let $F$ be a field contained in some larger extension field $E$ (perhaps $F=\mathbb{Q}$ and $E=\mathbb{C}$ ). Let $F[x]$ be the ring of polynomials over $F$ and let $\alpha$ be an element of $E$ that is a zero of some polynomial $g(x)$ in $F[x]$ with $\operatorname{deg}(g(x)) \geq 1$.

Let $f_\alpha: F[x] \rightarrow E$ be the evaluation homomorphism, $q(x) \mapsto q(\alpha) \in E$. The kernel of $f_\alpha$ is the ideal $N$ of $F[x]$ consisting of all polynomials in $F[x]$ for which $\alpha$ is a zero. By Proposition 7.1.1, $N$ is a principal ideal of the form $N=(p(x))$ for some $p(x) \in F[x]$. In fact, $p(x)$ is the monic irreducible polynomial of smallest degree with $p(\alpha)=0$. Since $p(x)$ is irreducible, $(p(x))$ is a maximal ideal of $F[x]$. By Proposition 7.1.6, $F[x] /(p(x))$ is a field, and by Theorem 7.1.15 there exists an isomorphism
$$g: F[x] /(p(x)) \rightarrow f_\alpha(F[x])$$
defined as $h(x)+(p(x)) \mapsto f_\alpha(h(x))=h(\alpha)$, for $h(x) \in F[x]$.
Thus the image $f_\alpha(F[x])$ is a field. In the case that $h(x)=c$ for $c \in F$, we have $g\left(c+(p(x))=c, c \in F\right.$, and so, $F$ is a subfield of $f_\alpha(F[x])$, and $f_\alpha(F[x])$ is a field extension of $F$.

## 数学代写|密码学Cryptography Theory代考|Algebraic Closure

Let $E$ be an extension field of $F$. An element $\alpha \in E$ is algebraic over $F$ if $\alpha$ is a zero of a polynomial $g(x) \in F[x]$. The extension $E / F$ is an algebraic extension of $F$ if every element of $E$ is algebraic over $F$. For instance, $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ is an algebraic extension of $\mathbb{Q}$ (can you prove this?)

A field $F$ is algebraically closed if every polynomial $g(x) \in F[x]$ has a zero in $F$. One familiar example of an algebraically closed field is $\mathbb{C}$.

An algebraic closure of $F$ is an algebraic extension of $F$ that is algebraically closed. Every field $F$ has (essentially) a unique algebraic closure which we denote as $\bar{F}$; it is the largest algebraic extension of $F$. For example, if $F=\mathbb{R}$, then $\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{C}$.

## 数学代写密码学加密理论代考|简单代数扩展

$$g: F[x] /(p(x)) \g: F[x]/(p(x))，右图为f_alpha(F[x])。$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。