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# 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|STAT360 Eigenvalues of a tridiagonal matrix

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## 数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|Eigenvalues of a tridiagonal matrix

The determinants of the successive principal minors of a matrix of this form can easily be calculated by recurrence. Defining $p_r(\lambda)$ to be the determinant of the leading principal minor of order $r$ of $T-\lambda I$, we see that
\begin{aligned} & p_1(\lambda)=a_1-\lambda, \ & p_2(\lambda)=\left(a_2-\lambda\right)\left(a_1-\lambda\right)-b_2^2 . \end{aligned}
Expanding $p_r(\lambda)$ in terms of the elements of the last row, and then in terms of the last column, we obtain the relation
$$p_r(\lambda)=\left(a_r-\lambda\right) p_{r-1}(\lambda)-b_r^2 p_{r-2}(\lambda), \quad r=2,3, \ldots, n,$$
with the convention that
$$p_0(\lambda) \equiv 1 \text {. }$$

## 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|The QR factorisation revisited

Suppose that $n \geq 3$ and $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ is a symmetric tridiagonal matrix. We first show how to construct an orthogonal matrix $Q \in \mathbb{R}^{n \times n}$ and

an upper triangular matrix $R \in \mathbb{R}^{n \times n}$ such that $A=Q R$; the problem is similar to the LU factorisation used in solving systems of linear equations, but here we have an orthogonal matrix $Q$ instead of a lower triangular matrix $L$.

We construct the matrix $Q$ as a product of plane rotation matrices $R^{p p+1}(\varphi) \in \mathbb{R}^{n \times n}$ (see Definition 5.2), with a suitably chosen $\varphi$. In order to explain what is meant here by ‘suitably chosen’, we note that in the product
$$B=R^{p p+1}(\varphi) A$$
the element $b_{p+1 p}$ is easily found to be
$$b_{p+1 p}=-s a_{p p}+c a_{p+1 p},$$
where $s=\sin \varphi$ and $c=\cos \varphi$. We can make $b_{p+1 p}=0$ by choosing
$$s=\frac{a_{p+1 p}}{\rho}, \quad c=\frac{a_{p p}}{\rho}, \quad \rho=\left(a_{p p}^2+a_{p+1 p}^2\right)^{1 / 2} .$$

## 数学代写数值分析代写数字分析代考|三对角矩阵的特征值

$$s=frac{a_{p+1 p}}{rho}, \quad c=frac{a_{p p}}{rho}, \quad \rho=left(a_{p p}^2+a_{p+1 p}^2\right)^{1 / 2}。$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。