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# 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|KMA305 Doob Decomposition and Square Variation

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## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Doob Decomposition and Square Variation

Let $X=\left(X_n\right){n \in \mathbb{N}_0}$ be an adapted process with $\mathbf{E}\left[\left|X_n\right|\right]<\infty$ for all $n \in \mathbb{N}_0$. We will decompose $X$ into a sum consisting of a martingale and a predictable process. To this end, for $n \in \mathbb{N}_0$, define $$M_n:=X_0+\sum{k=1}^n\left(X_k-\mathbf{E}\left[X_k \mid \mathcal{F}{k-1}\right]\right)$$ and $$A_n:=\sum{k=1}^n\left(\mathbf{E}\left[X_k \mid \mathcal{F}{k-1}\right]-X{k-1}\right)$$
Evidently, $X_n=M_n+A_n$. By construction, $A$ is predictable with $A_0=0$, and $M$ is a martingale since
$$\mathbf{E}\left[M_n-M_{n-1} \mid \mathcal{F}{n-1}\right]=\mathbf{E}\left[X_n-\mathbf{E}\left[X_n \mid \mathcal{F}{n-1}\right] \mid \mathcal{F}_{n-1}\right]=0$$

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Optional Sampling and Optional Stopping

Lemma 10.10 Let $I \subset \mathbb{R}$ be countable, let $\left(X_t\right){t \in I}$ be a martingale, let $T \in I$ and let $\tau$ be a stopping time with $\tau \leq T$. Then $X\tau=\mathbf{E}\left[X_T \mid \mathcal{F}\tau\right]$ and, in particular, $\mathbf{E}\left[X\tau\right]=\mathbf{E}\left[X_0\right]$

Proof It is enough to show that $\mathbf{E}\left[X_T \mathbb{1}A\right]=\mathbf{E}\left[X\tau \mathbb{1}A\right]$ for all $A \in \mathcal{F}\tau$. By the definition of $\mathcal{F}\tau$, we have ${\tau=t} \cap A \in \mathcal{F}_t$ for all $t \in I$. Hence \begin{aligned} \mathbf{E}\left[X\tau \mathbb{1}A\right] & =\sum{t \leq T} \mathbf{E}\left[X_t \mathbb{1}{{\tau=t} \cap A}\right]=\sum{t \leq T} \mathbf{E}\left[\mathbf{E}\left[X_T \mid \mathcal{F}t\right] \mathbb{1}{{\tau=t} \cap A}\right] \ & =\sum_{t \leq T} \mathbf{E}\left[X_T \mathbb{1}A \mathbb{1}{{\tau=t}}\right]=\mathbf{E}\left[X_T \mathbb{1}A\right] \end{aligned} Theorem $10.11$ (Optional sampling theorem) Let $X=\left(X_n\right){n \in \mathbb{N}0}$ be a supermartingale and let $\sigma \leq \tau$ be stopping times. (i) Assume there exists a $T \in \mathbb{N}$ with $\tau \leq T$. Then $$X\sigma \geq \mathbf{E}\left[X_\tau \mid \mathcal{F}\sigma\right],$$ and, in particular, $\mathbf{E}\left[X\sigma\right] \geq \mathbf{E}\left[X_\tau\right]$. If $X$ is a martingale, then equality holds in each case.
(ii) If $X$ is nonnegative and if $\tau<\infty$ a.s., then we have $\mathbf{E}\left[X_\tau\right] \leq \mathbf{E}\left[X_0\right]<\infty$, $\mathbf{E}\left[X_\sigma\right] \leq \mathbf{E}\left[X_0\right]<\infty$ and $X_\sigma \geq \mathbf{E}\left[X_\tau \mid \mathcal{F}\sigma\right]$ (iii) Assume that, more generally, $X$ is only adapted and integrable. Then $X$ is a martingale if and only if $\mathbf{E}\left[X\tau\right]=\mathbf{E}\left[X_0\right]$ for any bounded stopping time $\tau$.

# 概率论代写

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Optional Sampling and Optional Stopping

$$X \sigma \geq \mathbf{E}\left[X_\tau \mid \mathcal{F} \sigma\right],$$

(ii) 如果 $X$ 是非负的，如果 $\tau<\infty$ 作为，那么我们有 $\mathbf{E}\left[X_\tau\right] \leq \mathbf{E}\left[X_0\right]<\infty, \mathbf{E}\left[X_\sigma\right] \leq \mathbf{E}\left[X_0\right]<\infty$ 和 $X_\sigma \geq \mathbf{E}\left[X_\tau \mid \mathcal{F} \sigma\right]$
（iii) 更一般地假设， $X$ 只是适配和可积的。然后 $X$ 是一个鞅当且仅当 $\mathbf{E}[X \tau]=\mathbf{E}\left[X_0\right]$ 对于任何有限的停止时间 $\tau$.

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。