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数学代写|概率论代考Probability Theory代写|STAT7614 Prohorov’s Theorem

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数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Prohorov’s Theorem

In the following, let $E$ be a Polish space with Borel $\sigma$-algebra $\mathcal{E}$. A fundamental question is: When does a sequence $\left(\mu_n\right){n \in \mathbb{N}}$ of measures on $(E, \mathcal{E})$ converge weakly or does at least have a weak limit point? Evidently, a necessary condition is that $\left(\mu_n(E)\right){n \in \mathbb{N}}$ is bounded. Hence, without loss of generality, we will consider only sequences in $\mathcal{M}{\leq 1}(E)$. However, this condition is not sufficient for the existence of weak limit points, as for example the sequence $\left(\delta_n\right){n \in \mathbb{N}}$ of probability measures on $\mathbb{R}$ does not have a weak limit point (although it converges vaguely to the zero measure). This example suggests that we also have to make sure that no mass “vanishes at infinity”. The idea will be made precise by the notion of tightness.

We start this section by presenting as the main result Prohorov’s theorem [136]. We give the proof first for the special case $E=\mathbb{R}$ and then come to a couple of applications. The full proof of the general case is deferred to the end of the section.
Definition 13.26 (Tightness) A family $\mathcal{F} \subset \mathcal{M}_f(E)$ is called tight if, for any $\varepsilon>0$, there exists a compact set $K \subset E$ such that
$$\sup {\mu(E \backslash K): \mu \in \mathcal{F}}<\varepsilon$$

数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Application: A Fresh Look at de Finetti’s Theorem

(After an idea of Götz Kersting.) Let $E$ be a Polish space and let $X_1, X_2, \ldots$ be an exchangeable sequence of random variables with values in $E$. As an alternative to the backwards martingale argument of Sect. 12.3, here we give a different proof of de Finetti’s theorem (Theorem 12.26). Recall that de Finetti’s theorem states that there exists a random probability measure $\Xi$ on $E$ such that, given $\Xi$, the random variables $X_1, X_2, \ldots$ are independent and $\Xi$-distributed. For $x=\left(x_1, x_2, \ldots\right) \in$ $E^{\mathbb{N}}$, let $\xi_n(x):=\frac{1}{n} \sum_{l=1}^n \delta_{x_l}$ be the empirical distribution of $x_1, \ldots, x_n$. Let
$$\mu_{n, k}(x):=\xi_n(x)^{\otimes k}=n^{-k} \sum_{i_1, \ldots, i_k=1}^n \delta_{\left(x_{i_1}, \ldots, x_{i_k}\right)}$$
be the distribution on $E^k$ that describes $k$-fold independent sampling with replacement (respecting the order) from $\left(x_1, \ldots, x_n\right)$. Let
$$v_{n, k}(x):=\frac{(n-k) !}{n !} \sum_{\substack{i_1, \ldots, i_k=1 \ #\left(i_1, \ldots, i_k\right]=k}}^n \delta_{\left(x_{i_1}, \ldots, x_{i_k}\right)}$$

概率论代写

数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Prohorov’s Theorem

$$\sup \mu(E \backslash K): \mu \in \mathcal{F}<\varepsilon$$

数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Application: A Fresh Look at de Finetti’s Theorem

(根据 Götz Kersting 的相法。) 让 $E$ 是一个波兰空间，让 $X_1, X_2, \ldots$ 是一个可交换的随机变量序列，其值在 $E$. 作为 Sect 的向 测度 $\Xi$ 在 $E$ 这样，给定 $\Xi$, 随机变量 $X_1, X_2, \ldots$ 是独立的和 $\Xi$-分敖式。为了的 $=\left(x_1, x_2, \ldots\right) \in E^{\mathbb{N}}$ ，让 $\xi_n(x):=\frac{1}{n} \sum_{l-1}^n \delta_{x_l}$ 是经验分布 $x_1, \ldots, x_n$. 让
$$\mu_{n, k}(x):=\xi_n(x)^{\otimes k}=n^{-k} \sum_{i_1, \ldots, i_k=1}^n \delta_{\left(x_{i 1}, \ldots, x_{i k}\right)}$$

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