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# 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|MAT12004 An implicit one-step method

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## 数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|An implicit one-step method

A one-step method with second-order accuracy is the trapezium rule method
$$y_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}\left[f\left(x_n, y_n\right)+f\left(x_{n+1}, y_{n+1}\right)\right] .$$
This method is easily motivated by writing
$$y\left(x_{n+1}\right)-y\left(x_n\right)=\int_{x_n}^{x_{n+1}} y^{\prime}(x) \mathrm{d} x,$$
and approximating the integral by the trapezium rule. Since the righthand side involves the integral of the function $x \mapsto y^{\prime}(x)=f(x, y(x))$ we see at once from (7.6) that the truncation error
$$T_n=\frac{y\left(x_{n+1}\right)-y\left(x_n\right)}{h}-\frac{1}{2}\left[f\left(x_n, y\left(x_n\right)\right)+f\left(x_{n+1}, y\left(x_{n+1}\right)\right)\right]$$
of the trapezium rule method satisfies the bound
$$\left|T_n\right| \leq \frac{1}{12} h^2 M_3, \quad \text { where } M_3=\max _{x \in\left[x_0, X_M\right]}\left|y^{\prime \prime \prime}(x)\right|$$

## 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Runge–Kutta methods

Euler’s method is only first-order accurate; nevertheless, it is simple and cheap to implement because, to obtain $y_{n+1}$ from $y_n$, we only require a single evaluation of the function $f$, at $\left(x_n, y_n\right)$. Runge-Kutta methods aim to achieve higher accuracy by sacrificing the efficiency of Euler’s method through re-evaluating $f(\cdot, \cdot)$ at points intermediate between

$\left(x_n, y\left(x_n\right)\right)$ and $\left(x_{n+1}, y\left(x_{n+1}\right)\right)$. Consider, for example, the following family of methods:
$$y_{n+1}=y_n+h\left(a k_1+b k_2\right),$$
where
\begin{aligned} & k_1=f\left(x_n, y_n\right), \ & k_2=f\left(x_n+\alpha h, y_n+\beta h k_1\right), \end{aligned}
and where the parameters $a, b, \alpha$ and $\beta$ are to be determined.
Note that Euler’s method is a member of this family of methods, corresponding to $a=1$ and $b=0$. However, we are now seeking methods that are at least second-order accurate. Clearly (12.29)-(12.31) can be written in the form (12.13) with
$$\Phi\left(x_n, y_n ; h\right)=a f\left(x_n, y_n\right)+b f\left(x_n+\alpha h, y_n+\beta h f\left(x_n, y_n\right)\right)$$

## 数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|An implicit one-step method

$$y_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}\left[f\left(x_n, y_n\right)+f\left(x_{n+1}, y_{n+1}\right)\right] .$$

$$y\left(x_{n+1}\right)-y\left(x_n\right)=\int_{x_n}^{x_{n+1}} y^{\prime}(x) \mathrm{d} x,$$

$$T_n=\frac{y\left(x_{n+1}\right)-y\left(x_n\right)}{h}-\frac{1}{2}\left[f\left(x_n, y\left(x_n\right)\right)+f\left(x_{n+1}, y\left(x_{n+1}\right)\right)\right]$$

$$\left|T_n\right| \leq \frac{1}{12} h^2 M_3, \quad \text { where } M_3=\max _{x \in\left[x_0, X_M\right.}\left|y^{\prime \prime \prime}(x)\right|$$

## 数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|Runge-Kutta methods

$\left(x_n, y\left(x_n\right)\right)$ 和 $\left(x_{n+1}, y\left(x_{n+1}\right)\right)$. 例如，考虑以下方法族:
$$y_{n+1}=y_n+h\left(a k_1+b k_2\right),$$

$$k_1=f\left(x_n, y_n\right), \quad k_2=f\left(x_n+\alpha h, y_n+\beta h k_1\right),$$

$$\Phi\left(x_n, y_n ; h\right)=a f\left(x_n, y_n\right)+b f\left(x_n+\alpha h, y_n+\beta h f\left(x_n, y_n\right)\right)$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。