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# 数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|MTH309 Geometric Interpretation

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## 数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|Geometric Interpretation

Each complex number $z=a+b i$ corresponds to a point $(a, b)$ in the plane $\mathbb{R}^2$, as in Figure 1. The horizontal axis is called the real axis because the points $(a, 0)$ on it correspond to the real numbers. The vertical axis is the imaginary axis because the points $(0, b)$ on it correspond to the pure imaginary numbers of the form $0+b i$, or simply bi. The conjugate of $z$ is the mirror image of $z$ in the real axis. The absolute value of $z$ is the distance from $(a, b)$ to the origin.

Addition of complex numbers $z=a+b i$ and $w=c+d i$ corresponds to vector addition of $(a, b)$ and $(c, d)$ in $\mathbb{R}^2$, as in Figure 2 .

To give a graphical representation of complex multiplication, we use polar coordinates in $\mathbb{R}^2$. Given a nonzero complex number $z=a+b i$, let $\varphi$ be the angle between the positive real axis and the point $(a, b)$, as in Figure 3 where $-\pi<\varphi \leq \pi$. The angle $\varphi$ is called the argument of $z$; we write $\varphi=\arg z$. From trigonometry,
$$a=|z| \cos \varphi, \quad b=|z| \sin \varphi$$
and so
$$z=a+b i=|z|(\cos \varphi+i \sin \varphi)$$

## 数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|Powers of a Complex Number

Formula (4) applies when $z=w=r(\cos \varphi+i \sin \varphi)$. In this case
$$z^2=r^2(\cos 2 \varphi+i \sin 2 \varphi)$$
and
\begin{aligned} z^3 & =z \cdot z^2 \ & =r(\cos \varphi+i \sin \varphi) \cdot r^2(\cos 2 \varphi+i \sin 2 \varphi) \ & =r^3(\cos 3 \varphi+i \sin 3 \varphi) \end{aligned}
In general, for any positive integer $k$,
$$z^k=r^k(\cos k \varphi+i \sin k \varphi)$$
This fact is known as De Moivre’s Theorem.

## 线性代数代写

$$a=|z| \cos \varphi, \quad b=|z| \sin \varphi$$

$$z=a+b i=|z|(\cos \varphi+i \sin \varphi)$$

$$z^2=r^2(\cos 2 \varphi+i \sin 2 \varphi)$$

$$z^3=z \cdot z^2 \quad=r(\cos \varphi+i \sin \varphi) \cdot r^2(\cos 2 \varphi+i \sin 2 \varphi)=r^3(\cos 3 \varphi+i \sin 3 \varphi)$$

$$z^k=r^k(\cos k \varphi+i \sin k \varphi)$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。