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# 数学代写|数学分析作业代写Mathematical Analysis代考|MATH1013 Products of Measurable Spaces

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## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Products of Measurable Spaces

Definition. A subset of $X \times Y$ of the form $A \times B$, where $A \in \mathfrak{M}, B \in \mathfrak{N}$ is called a measurable rectangle in $X \times Y$.

Definition. The product of the measurable spaces $(X, \mathfrak{M})$ and $(Y, \mathfrak{N})$ is the measurable space $(X \times Y, \mathfrak{M} \otimes \mathfrak{N}$ ), where $\mathfrak{M} \otimes \mathfrak{N}$ is the $\sigma$-algebra generated by the collection of measurable rectangles.

Definition. For a subset $E \subseteq X \times Y$, and for a fixed element $x \in X$, we define the $x$-section of $E$ to be the set $E_x={y \in Y:(x, y) \in E}$. Similarly, for $y \in Y$, the $y$-section of $E$ is the set $E^y={x \in X:(x, y) \in E}$.

The following lemma will be used without explicit reference. Its proof is simple.
Lemma 8.8.1. If $\left(E_n\right)$ is a sequence of subsets of $X \times Y$, then
$$\left(\cup_n E_n\right)_x=\cup_n\left(E_n\right)_x \text {, and }\left(\cap_n E_n\right)_x=\cap_n\left(E_n\right)_x .$$
The corresponding statements for $y$-sections are true.

## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Product Measures

Theorem 8.8.8. Suppose $(X, \mathfrak{M}, \mu)$ and $(Y, \mathfrak{N}, \nu)$ are $\sigma$-finite measure spaces.
For a subset $E \in \mathfrak{M} \otimes \mathfrak{M}$, and for $x \in X, y \in Y$, define
$$\varphi(x)=\nu\left(E_x\right), \text { and } \psi(y)=\mu\left(E^y\right)$$
Then
(i) $\varphi$ is $\mathfrak{M}$-measurable,
(ii) $\psi$ is $\mathfrak{\Re}$-measurable, and
(iii) $\int_X \varphi d \mu=\int_Y \psi d \nu$.
Proof. Let $\Omega$ be the collection of members of $\mathfrak{M} \otimes \mathfrak{M}$ for which all three conclusions of the theorem hold. We will show that $\Omega=\mathfrak{M} \otimes \mathfrak{N}$.
First, we establish a number of facts.

## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Products of Measurable Spaces

$\left(\cup_n E_n\right)_x=\cup_n\left(E_n\right)_x$, and $\left(\cap_n E_n\right)_x=\cap_n\left(E_n\right)_x$.

## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Product Measures

$$\varphi(x)=\nu\left(E_x\right), \text { and } \psi(y)=\mu\left(E^y\right)$$

（一） $\varphi$ 是 $\mathrm{M}$-可衡量的，
(ii) $\psi$ 是 $\mathrm{R}$ – 可衡量的，并且
(iii) $\int_X \varphi d \mu=\int_Y \psi d \nu$.

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。