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# 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|MA26600 Using Ehrenpreis cutofs to prove local analyticity

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## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Using Ehrenpreis cutofs to prove local analyticity

Proposition 3.2.4 Let $\Omega$ be an open subset of $\mathbb{R}^n$. For $f \in C^{\infty}(\Omega)$ to be realanalytic at a point $x^{\circ} \in \Omega$ it is necessary and sufficient that there be a pair of relatively compact open subsets $U, V$ of $\Omega$ with $x^{\circ} \in V \subset \subset U$ and an Ehrenpreis sequence $\varphi_N(N=1,2, \ldots)$ relative to the pair $(U, V)$ such that, for some constant $C>0$ independent of $N$ and for every $\alpha \in \mathbb{Z}{+}^n,|\alpha| \leq N$, $$\max _x\left|\mathrm{D}^\alpha\left(\varphi_N f\right)(x)\right| \lesssim C^N \alpha ! .$$ Proof The condition is sufficient since $\varphi_N(x)=1$ if $x \in V$. To prove that it is necessary we select a neighborhood $U$ of $x^{\circ}$ sufficiently small and a constant $C_1>0$ sufficiently large that $$\forall \beta \in \mathbb{Z}{+}^n, \sup {x \in V}\left|\mathrm{D}^\beta f(x)\right| \lesssim C_1^{|\beta|} \beta ! .$$ Taking $|\alpha| \leq N$ we derive from the Leibniz rule (1.1.3) and from (3.2.2) and (3.2.8): \begin{aligned} \left|\mathrm{D}^\alpha\left(\varphi_N(x) f(x)\right)\right| & \lesssim \sum{\beta \leq \alpha} \frac{\alpha !}{(\alpha-\beta) !} C_1^{|\beta|}\left(C_{\circ} N\right)^{|\alpha-\beta|} \ & \lesssim \alpha ! C_1^{|\alpha|} \exp \left(C_{\circ} N\right), \end{aligned}
whence (3.2.7) with $C=C_1 \exp C_{\circ}$.

## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|1 Function spaces in complex wedg

In this section we define the boundary value of a holomorphic function in a wedge whose absolute value is allowed to have tempered growth at the edge (see Definition 3.3.2 below), and we show how every distribution can be represented as a sum of such boundary values. This will be important for the lifting of the analysis to phase-space. By a wedge we shall generally mean a subset of complex space $\mathbb{C}^n$ of the kind
$$W_\delta(\Omega, \Gamma)=\left{z=x+i y \in \mathbb{C}^n ; x \in \Omega, y \in \Gamma,|y|<\delta\right}$$ The edge $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ of $W_\delta(\Omega, \Gamma)$ is an open set and $\Gamma \subset \mathbb{R}^n \backslash{0}$ is an open and connected cone, never empty and (unless specified otherwise) acute, meaning that the closure of $\Gamma$ in $\mathbb{R}^n \backslash{0}$ is contained in an open half-space $y \cdot \xi^{\circ}>0$ $\left(0 \neq \xi^{\circ} \in \mathbb{R}^n\right)$. In special instances it will be convenient to deal with a cone of revolution, i.e., a cone (per force acute) that can be transformed by a rotation into a cone $\left{y \in \mathbb{R}^n ;\left|y^{\prime}\right|<\kappa y_n\right}(0<\kappa<+\infty)$. Here and in the sequel, we frequently use the notation $y^{\prime}=\left(y_1, \ldots, y_{n-1}\right)$. The positive number $\delta$ will sometimes be referred to as the height of the wedge $\mathcal{W}_\delta(\Omega, \Gamma)$; most often, $\delta \leq 1$.

# 常微分方程代写

## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Using Ehrenpreis cutofs to prove local analyticity

$$\max _x\left|\mathrm{D}^\alpha\left(\varphi_N f\right)(x)\right| \lesssim C^N \alpha ! .$$

$$\forall \beta \in \mathbb{Z}++^n, \sup x \in V\left|\mathrm{D}^\beta f(x)\right| \lesssim C_1^{|\beta|} \beta ! .$$

$$\left|\mathrm{D}^\alpha\left(\varphi_N(x) f(x)\right)\right| \lesssim \sum \beta \leq \alpha \frac{\alpha !}{(\alpha-\beta) !} C_1^{|\beta|}\left(C_0 N\right)^{|\alpha-\beta|} \quad \lesssim \alpha ! C_1^{|\alpha|} \exp \left(C_0 N\right),$$

## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|1 Function spaces in complex wedg

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。