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# 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|MTH6151 Sobolev spaces

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## 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Sobolev spaces

Sobolev spaces consist of functions whose weak derivatives belong to $L^p$. These spaces provide one of the most useful settings for the analysis of PDEs.

Definition 3.23. Suppose that $\Omega$ is an open set in $\mathbb{R}^n, k \in \mathbb{N}$, and $1 \leq p \leq \infty$. The Sobolev space $W^{k, p}(\Omega)$ consists of all locally integrable functions $f: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ such that
$$\partial^\alpha f \in L^p(\Omega) \quad \text { for } 0 \leq|\alpha| \leq k .$$
We write $W^{k, 2}(\Omega)=H^k(\Omega)$.
The Sobolev space $W^{k, p}(\Omega)$ is a Banach space when equipped with the norm
$$|f|_{W^{k, p}(\Omega)}=\left(\sum_{|\alpha| \leq k} \int_{\Omega}\left|\partial^\alpha f\right|^p d x\right)^{1 / p}$$
for $1 \leq p<\infty$ and
$$|f|_{W^{k, \infty}(\Omega)}=\max {|\alpha| \leq k} \sup {\Omega}\left|\partial^\alpha f\right|$$

## 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Approximation of Sobolev functions

To begin with, we consider Sobolev functions defined on all of $\mathbb{R}^n$. They may be approximated in the Sobolev norm by by test functions.

TheOrem 3.24. For $k \in \mathbb{N}$ and $1 \leq p<\infty$, the space $C_c^{\infty}\left(\mathbb{R}^n\right)$ is dense in $W^{k, p}\left(\mathbb{R}^n\right)$

ProOf. Let $\eta^\epsilon \in C_c^{\infty}\left(\mathbb{R}^n\right)$ be the standard mollifier and $f \in W^{k, p}\left(\mathbb{R}^n\right)$. Then Theorem $1.28$ and Theorem $3.19$ imply that $\eta^\epsilon * f \in C^{\infty}\left(\mathbb{R}^n\right) \cap W^{k, p}\left(\mathbb{R}^n\right)$ and for $|\alpha| \leq k$
$$\partial^\alpha\left(\eta^\epsilon * f\right)=\eta^\epsilon *\left(\partial^\alpha f\right) \rightarrow \partial^\alpha f \quad \text { in } L^p\left(\mathbb{R}^n\right) \text { as } \epsilon \rightarrow 0^{+} .$$
It follows that $\eta^\epsilon * f \rightarrow f$ in $W^{k, p}\left(\mathbb{R}^n\right)$ as $\epsilon \rightarrow 0$. Therefore $C^{\infty}\left(\mathbb{R}^n\right) \cap W^{k, p}\left(\mathbb{R}^n\right)$ is dense in $W^{k, p}\left(\mathbb{R}^n\right)$.

Now suppose that $f \in C^{\infty}\left(\mathbb{R}^n\right) \cap W^{k, p}\left(\mathbb{R}^n\right)$, and let $\phi \in C_c^{\infty}\left(\mathbb{R}^n\right)$ be a cut-off function such that
$$\phi(x)= \begin{cases}1 & \text { if }|x| \leq 1 \ 0 & \text { if }|x| \geq 2\end{cases}$$

# 偏微分方程代写

## 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Sobolev spaces

Sobolev 空间由弱导数属于的函数组成 $L^p$. 这些空间为 PDE 的分析提供了最有用的设置之一。

$$\partial^\alpha f \in L^p(\Omega) \quad \text { for } 0 \leq|\alpha| \leq k$$

$$|f|{W^{k p}(\Omega)}=\left(\sum{|\alpha| \leq k} \int_{\Omega}\left|\partial^\alpha f\right|^p d x\right)^{1 / p}$$

$$|f|_{W^{k, \infty(\Omega)}}=\max |\alpha| \leq k \sup \Omega\left|\partial^\alpha f\right|$$

## 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Approximation of Sobolev functions

$$\partial^\alpha\left(\eta^\epsilon * f\right)=\eta^\epsilon *\left(\partial^\alpha f\right) \rightarrow \partial^\alpha f \quad \text { in } L^p\left(\mathbb{R}^n\right) \text { as } \epsilon \rightarrow 0^{+} .$$

$$\phi(x)=\left{\begin{array}{lll} 1 & \text { if }|x| \leq 10 & \text { if }|x| \geq 2 \end{array}\right.$$

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。