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# 数学代写|解析数论代写Analytic Number Theory代考|MA3150 Basic Properties

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## 数学代写|解析数论代写Analytic Number Theory代考|Basic Properties

(a) For any constant $c$, we have $c \cdot O(g)=O(g)$.
Note. Interpret this to mean: “If $f=O(g)$, then $c \cdot f=O(g)$.” Parts (b)-(e) should be interpreted similarly.
(b) $O(g) \cdot O(h)=O(g h)$,
(c) $O(f)+O(g)=O(|f|+|g|)$,
(d) If $f=O(g)$ then $O(f)+O(g)=O(g)$,
(e) If $f=O(g)$ and $g=O(h)$, then $f=O(h)$.
1.2 Prove: $\log (1+x)=x+O\left(x^2\right)$ for all $x \geq 0$. Is the same estimate true on $(-0.99, \infty)$ ? on $(-1, \infty)$ ?
1.3 We say that $f(x)=O(g(x))$ “as $x \rightarrow \infty$ ” or “for all large $x$ ” if $\exists x_0$ such that $f(x)=O(g(x))$ on $\left(x_0, \infty\right)$. Prove: If $\lim _{x \rightarrow \infty} g(x)=0$, then as $x \rightarrow \infty$,
\begin{aligned} & \frac{1}{1+O(g(x))}=1+O(g(x)), \mathrm{e}^{O(g(x))}=1+O(g(x)) \ & \text { and } \quad \log (1+O(g(x)))=O(g(x)) \end{aligned}

## 数学代写|解析数论代写Analytic Number Theory代考|Asymptotic Analysis

1.6 For $n \in \mathbb{Z}^{+}$, define
$$a_n=\frac{1}{n}-\int_n^{n+1} \frac{\mathrm{d} t}{t} .$$
Interpret $a_n$ as an area and explain, from this geometric perspective, how to see that $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ converges.

1.7 There is a real number $\gamma$ (the “Euler-Mascheroni constant”) such that for all positive integers $N$,
$$0 \geq \sum_{n \leq N} \frac{1}{n}-(\log (N+1)+\gamma) \geq-\frac{1}{N+1}$$
1.8 For all real $x \geq 1: \quad \sum_{n \leq x} \frac{1}{n}=\log x+\gamma+O(1 / x)$.

## 数学代写1解析数论代写Analytic Number Theory代考|Basic Properties

(a) 对于任何常数 $c$ ，我们有 $c \cdot O(g)=O(g)$.

(乙) $O(g) \cdot O(h)=O(g h)$,
(三) $O(f)+O(g)=O(|f|+|g|)$,
(d) 如果 $f=O(g)$ 然后 $O(f)+O(g)=O(g)$,
(e) 如果 $f=O(g)$ 和 $g=O(h)$ ，然后 $f=O(h)$.
$1.2$ 证明: $\log (1+x)=x+O\left(x^2\right)$ 对所有人 $x \geq 0$. 相同的估计是否正确 $(-0.99, \infty)$ ? 在 $(-1, \infty)$ ? $\lim _{x \rightarrow \infty} g(x)=0$ ，那么作为 $x \rightarrow \infty$ ，
$$\frac{1}{1+O(g(x))}=1+O(g(x)), \mathrm{e}^{O(g(x))}=1+O(g(x)) \quad \text { and } \quad \log (1+O(g(x)))=O(g(x))$$

## 数学代写|解析数论代写Analytic Number Theory代考|Asymptotic Analysis

$1.6$ 对于 $n \in \mathbb{Z}^{+}$， 定义
$$a_n=\frac{1}{n}-\int_n^{n+1} \frac{\mathrm{d} t}{t}$$

$1.7$ 有实数 $\gamma$ (“Euler-Mascheroni 常数”) 使得对于所有正整数 $N$ ，
$$0 \geq \sum_{n \leq N} \frac{1}{n}-(\log (N+1)+\gamma) \geq-\frac{1}{N+1}$$
$1.8$ 对于所有真实的 $x \geq 1: \quad \sum_{n \leq x} \frac{1}{n}=\log x+\gamma+O(1 / x)$.

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