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# 数学代写|解析数论代写Analytic Number Theory代考|MATH613D Distribution of Prime Numbers

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## 数学代写|解析数论代写Analytic Number Theory代考|Distribution of Prime Numbers

For $x>0$, define $\operatorname{LCM}(x)$ as the least common multiple of the integers in $[1, x]$. We adopt the convention that $\operatorname{LCM}(x)=1$ if $0<x<1$.
7.65 For $n \in \mathbb{Z}^{+}$, the ratio $\frac{\operatorname{LCM}(2 n+1)}{\operatorname{LCM}(n+1)}$ is squarefree.
7.66 For $n \in \mathbb{Z}^{+}: \quad \frac{\operatorname{LCM}(2 n+1)}{\operatorname{LCM}(n+1)}$ divides $\left(\begin{array}{c}2 n+1 \ n+1\end{array}\right)$.
7.67 For $n \in \mathbb{Z}^{+}:\left(\begin{array}{c}2 n+1 \ n+1\end{array}\right) \leq \frac{1}{2} \sum_{k \geq 0}\left(\begin{array}{c}2 n+1 \ k\end{array}\right)=4^n$.
7.68 $\operatorname{LCM}(n) \leq 4^n$ for all $n \in \mathbb{Z}^{+}$.
7.69 (GELFOND-SCHNIRELMANN) For $n \in \mathbb{Z}^{+}$:
$$\frac{1}{4^n} \geq \int_0^1 t^n(1-t)^n \mathrm{~d} t \in \frac{1}{\operatorname{LCM}(2 n+1)} \mathbb{Z}^{+} .$$
Hence: $\operatorname{LCM}(2 n+1) \geq 4^n$.

## 数学代写|解析数论代写Analytic Number Theory代考|Combinatorial Methods

7.70 Let $m \in \mathbb{Z}^{+}$and $x>0$ : The count of $n \leq x$ belonging to any given residue class $\bmod m$ lies within 1 of $x / m$.
7.71 Set $\pi_2(x, y)=#{n \leq x: p \mid n(n+2) \Rightarrow p>y}$. For squarefree $d$, let $A_d:=#{n \leq x: n(n+2) \equiv 0(\bmod d)}$. Then for $x, y \geq 1$,
\begin{aligned} \pi_2(x, y) & =A_1-\sum_{p_1 \leq y} A_{p_1}+\sum_{p_1<p_2 \leq y} A_{p_1 p_2}-\sum_{p_1<p_2<p_3 \leq y} A_{p_1 p_2 p_3}+\ldots \ & =\sum_{d \mid P} \mu(d) A_d, \quad \text { where } \quad P=\prod_{p \leq y} p . \end{aligned}
7.72 For each squarefree $d$, we have $A_d=x \frac{2^{\omega\left(d^{\prime}\right)}}{d}+O\left(2^{\omega\left(d^{\prime}\right)}\right)$, where $d^{\prime}$ is the largest odd divisor of $d$. So for $x, y \geq 2$ :
$$\pi_2(x, y)=\frac{1}{2} x \prod_{2<p \leq y}\left(1-\frac{2}{p}\right)+O\left(3^{\pi(y)}\right)$$

## 数学代写|解析数论代写Analytic Number Theory代考|Distribution of Prime Numbers

$7.65$ 对于 $n \in \mathbb{Z}^{+}$， 比例 $\frac{\operatorname{LCM}(2 n+1)}{\operatorname{LCM}(n+1)}$ 是无方形的。
$7.66$ 对于 $n \in \mathbb{Z}^{+}: \quad \frac{\operatorname{LCM}(2 n+1)}{\operatorname{LCM}(n+1)}$ 分裂 $(2 n+1 n+1)$.
$7.67$ 对于 $n \in \mathbb{Z}^{+}:(2 n+1 n+1) \leq \frac{1}{2} \sum_{k \geq 0}(2 n+1 k)=4^n$.
$7.68 \operatorname{LCM}(n) \leq 4^n$ 对所有人 $n \in \mathbb{Z}^{+}$.
$7.69$ (盖尔丰-施奈雷尔墁) 对于 $n \in \mathbb{Z}^{+}$:
$$\frac{1}{4^n} \geq \int_0^1 t^n(1-t)^n \mathrm{~d} t \in \frac{1}{\operatorname{LCM}(2 n+1)} \mathbb{Z}^{+} .$$

## 数学代写解析数论代写Analytic Number Theory代考|Combinatorial Methods

$7.70$ 让 $m \in \mathbb{Z}^{+}$和 $x>0$ : 计数 $n \leq x$ 属于任何给定的残基类 $\bmod m$ 位于 1 以内 $x / m$.
$7.71$ 套你不能在数学模式下使用 “宏参数字符#” . 对于 squarefree $d$ ，让

$\pi_2(x, y)=A_1-\sum_{p 1 \leq y} A_{p_1}+\sum_{p 1<p 2 \leq y} A_{p_1 p_2}-\sum_{p 1<p 2<p 3 \leq y} A_{p_1 p_{22} p_3}+\ldots \quad=\sum_{d \mid P} \mu(d) A_d, \quad$ where $\quad P=\prod_{p \leq y} p$.
$7.72$ 对于每个 squarefreed，我们有 $A_d=x \frac{2^{\omega\left(d^{\prime}\right)}}{d}+O\left(2^{\omega\left(d^{\prime}\right)}\right)$ ，在哪里 $d^{\prime}$ 是最大的奇数因子 $d$. 因此对于 $x, y \geq 2$ :
$$\pi_2(x, y)=\frac{1}{2} x \prod_{2<p \leq y}\left(1-\frac{2}{p}\right)+O\left(3^{\pi(y)}\right)$$

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