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# 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|EECS559 Conic problems and their duals

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## 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Conic problems and their duals

Given regular cones $K_i \subset E_i, 1 \leq i \leq m$, consider an optimization problem of the form
$$\operatorname{Opt}(P)=\min \left{\langle c, x\rangle: \begin{array}{l} A_i x-b_i \in K_i, i=1, \ldots, m \ R x=r \end{array}\right},$$
where $x \mapsto A_i x-b_i$ are affine mappings acting from some Euclidean space $E$ to the spaces $E_i$ where the cones $K_i$ live. A problem in this form is called a conic problem on the cones $K_1, \ldots, K_m$; the constraints $A_i x-b_i \in K_i$ on $x$ are called conic constraints. We call a conic problem $(P)$ strictly feasible if it admits a strictly feasible solution $\bar{x}$, meaning that $\bar{x}$ satisfies the equality constraints and satisfies strictly the conic constraints, i.e., $A_i \bar{x}-b_i \in \operatorname{int} K_i$.

## 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Schur Complement Lemma

The following simple fact is extremely useful:
Lemma 4.3. [Schur Complement Lemma] A symmetric block matrix
$$A=\left[\begin{array}{c|c} P & Q^T \ \hline Q & R \end{array}\right]$$
with $R \succ 0$ is positive (semi)definite if and only if the matrix $P-Q^T R^{-1} Q$ is so.
Proof. With $u, v$ of the same sizes as $P, R$, we have
$$\min _v[u ; v]^T A[u ; v]=u^T\left[P-Q^T R^{-1} Q\right] u$$
(direct computation utilizing the fact that $R \succ 0$ ). It follows that the quadratic form associated with $A$ is nonnegative everywhere if and only if the quadratic form with the matrix $\left[P-Q^T R^{-1} Q\right]$ is nonnegative everywhere (since the latter quadratic form is obtained from the former one by partial minimization).

## 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Conic problems and their duals

\left 缺少或无法识别的分隔符 锥问题 $K_1, \ldots, K_m$ 约束 $A_i x-b_i \in K_i$ 在 $x$ 称为圆雉约束。我们称之为圆推问题 $(P)$ 严格可行如果它承认一个严格可行的解诀 方椗 $\bar{x}$ ，意思是 $\bar{x}$ 满足等式約束并严格满足二次曲线约束，即 $A_i \bar{x}-b_i \in \operatorname{int} K_i$.

## 数学代写|优化代写Convex Optimization代考|Schur Complement Lemma

$$\min _v[u ; v]^T A[u ; v]=u^T\left[P-Q^T R^{-1} Q\right] u$$
(利用以下事实直接计算 $R \succ 0$ ). 由此得出与相关联的二次形式 $A$ 处处非负当且仅当矩阵的二次形式 $\left[P-Q^T R^{-1} Q\right]$ 在任何地 方都是非负的 (因为后一种二次形式是通过部分最小化从前一种形式获得的) 。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。