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# 数学代写|密码学代写Cryptography Theory代考|CSE546 Difference of Two Squares

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## 数学代写|密码学Cryptography Theory代考|Difference of Two Squares

Let $n=p q$ be a product of distinct odd primes $p, q, p>q$. We discuss other algorithms for factoring $n$. These methods depend on the familiar difference of two squares factorization
$$x^2-y^2=(x+y)(x-y) .$$
Fermat Factorization
Our first algorithm is called Fermat factorization. The idea behind this algorithm is to find an integer $x$ so that $x^2-n$ is a square of some integer $y$. For then, $x^2-n=y^2$, thus, $n=x^2-y^2=(x+y)(x-y)$, and so $p=x+y$ and $q=x-y$ are the prime factors of $n$.

## 数学代写|密码学Cryptography Theory代考|Modular Fermat Factorization

The idea is to find integers $x$ and $k$ so that $x^2-k n$ is a square of some integer $y$. Then, $x^2-k n=y^2$ and so
$$x^2 \equiv y^2(\bmod n) .$$
We then have
$$(x+y)(x-y)=k n,$$
and computing $\operatorname{gcd}(n, x+y)$ and $\operatorname{gcd}(n, x-y)$ will yield the prime factors of $n$.
The algorithm, which we call modular Fermat factorization, is a systematic way of solving the congruence (9.4). It uses the notion of a “smooth” integer. Let $B \geq 2$ be a real number. An integer $m \geq 2$ is $B$-smooth if each prime factor of $m$ is less than or equal to $B$. For example, 16 is 2 -smooth and $n$ ! is $n$-smooth for all $n \geq 2$

## 数学代写|密码学Cryptography Theory代考|Difference of Two Squares

$$x^2-y^2=(x+y)(x-y) .$$

## 数学代写|密码学Cryptography Theory代考|Modular Fermat Factorization

$$x^2 \equiv y^2(\bmod n) .$$

$$(x+y)(x-y)=k n,$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。