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# 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|MAT12004 Sensitivity in linear system solving

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## 数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|Sensitivity in linear system solving

We begin this section with an example.
Example 11. Consider the system of equations
$$\mathbf{A x}=\left(\begin{array}{cc} 6 & -2 \ 11.5 & -3.85 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_1 \ x_2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 10 \ 17 \end{array}\right)=\mathbf{b} .$$
The solution to this system is $\mathbf{x}=\left[\begin{array}{ll}45 & 130\end{array}\right]^T$.
However, for the slightly perturbed system
$$\tilde{\mathbf{A}} \tilde{\mathbf{x}}=\left(\begin{array}{cc} 6 & -2 \ 11.5 & -3.84 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_1 \ x_2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 10 \ 17 \end{array}\right)=\mathbf{b},$$
the solution to the system is $\tilde{\mathbf{x}}=\left[\begin{array}{ll}110 & 325\end{array}\right]^T$.

## 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Error and residual in linear system solving

Assume now that we can represent $\mathbf{A}$ and $\mathbf{b}$ exactly, and let us consider a different type of error. All numerical methods for solving $\mathbf{A x}=\mathbf{b}$ introduce error; that is, they almost surely find $\hat{\mathbf{x}} \neq \mathbf{x}$. Unfortunately, we usually never know $\mathbf{x}$, but we still want to have an idea of the size of the error $\mathbf{e}=\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{x}$. What we do know, if given an approximation $\hat{\mathbf{x}}$, is the residual $\mathbf{r}=\mathbf{b}-\mathbf{A} \hat{\mathbf{x}}$. Residual and error are different, but related:
$$\mathbf{A e}=\mathbf{A}(\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{x})=\mathbf{A} \hat{\mathbf{x}}-\mathbf{A x}=\mathbf{A} \hat{\mathbf{x}}-\mathbf{b}=\mathbf{r} .$$
Multiplying both sides of $\mathbf{A e}=\mathbf{r}$ by $\mathbf{A}^{-1}$ gives $\mathbf{e}=\mathbf{A}^{-1} \mathbf{r}$, and then taking norms of both sides yield
$$|\mathbf{e}|=\left|\mathbf{A}^{-1}\right||\mathbf{r}| \leq\left|\mathbf{A}^{-1}\right||\mathbf{r}|,$$
where the last inequality came from a property of matrix norms. Dividing both sides by $|\hat{\mathbf{x}}|$, and multiplying the right-hand side by $\frac{|\mathbf{A}|}{|\mathbf{A}|}$ yield
$$\frac{|\mathbf{e}|}{|\hat{\mathbf{x}}|} \leq \operatorname{cond}(A) \frac{|\mathbf{r}|}{|\mathbf{A}||\hat{\mathbf{x}}|} .$$

## 数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|Sensitivity in linear system solving

$$\mathbf{A x}=\left(\begin{array}{lll} 6 & -211.5 & -3.85 \end{array}\right)\left(x_1 x_2\right)=(1017)=\mathbf{b} .$$

$$\overline{\mathbf{A}} \overline{\mathbf{x}}=\left(\begin{array}{lll} 6 & -211.5 & -3.84 \end{array}\right)\left(x_1 x_2\right)=(1017)=\mathbf{b},$$

## 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Error and residual in linear system solving

$$\mathbf{A e}=\mathbf{A}(\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{x})=\mathbf{A} \hat{\mathbf{x}}-\mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{A} \hat{\mathbf{x}}-\mathbf{b}=\mathbf{r} .$$

$$|\mathbf{e}|=\left|\mathbf{A}^{-1}\right||\mathbf{r}| \leq\left|\mathbf{A}^{-1}\right||\mathbf{r}|,$$

$$\frac{|\mathbf{e}|}{|\hat{\mathbf{x}}|} \leq \operatorname{cond}(A) \frac{|\mathbf{r}|}{|\mathbf{A}||\hat{\mathbf{x}}|} .$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。