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# 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|STAT360 Pivoting

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## 数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|Pivoting

GE breaks down at Step $i$ if the ith diagonal entry of the current (modified) coefficient matrix, referred to as the pivot, is zero (or close to 0 ), since there is no way to eliminate a nonzero entry using a zero pivot. A zero pivot may arise at any step of GE, making the algorithm fail, even if $\mathbf{A}$ is nonsingular and a unique solution to $\mathbf{A x}=\mathbf{b}$ exists. Consider, for example, the linear equation
$$\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \ 1 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_1 \ x_2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 0 \ 2 \end{array}\right) .$$
There is a unique solution $\left(x_1=2\right.$ and $\left.x_2=0\right)$, but GE fails at the first step.

## 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Work in LU/GE

How many floating point operations (flops) are needed to perform PLU? At Step $i$, we need to compare $n-i+1$ entries $a_{i i}, \ldots, a_{n i}$ and choose the largest one in modulus. After pivoting, we need $n-i$ divisions to get the multiple factors used for row operations. To eliminate each subdiagonal $(j, i)$ entry $(i<j \leq n)$ in the $i$ th column, it takes $n-i$ scalar multiplications and $n-i$ additions to subtract a multiple of the new $i$ th row from the $j$ th row. In total, there will be $\sum_{i=1}^{n-1}(n-i+1)=\frac{1}{2}(n+2)(n-1) \approx \frac{n^2}{2}$ scalar comparisons, $\sum_{i=1}^{n-1}[(n-i)+(n-i)(n-i)]=\frac{1}{3}\left(n^3-n\right) \approx \frac{n^3}{3}$ multiplication/divisions, and $\sum_{i=1}^{n-1}(n-i)(n-i)=\frac{1}{6} n(n-1)(2 n-1) \approx \frac{1}{3} n^3$ addition/subtractions. If multiplications and additions take about the same time (which is the case nowadays on many platforms), we can combine them and simply say that the arithmetic cost for LU factorization is $\frac{2}{3} n^3$ flops plus $\frac{1}{2} n^2$ comparisons.

The above estimates assume that every entry of $\mathbf{A}$ is nonzero. If $\mathbf{A}$ has certain special nonzero structures, the estimate may become smaller. For instance, if all entries of $\mathbf{A}$ below the $k$ th subdiagonal are zero, where $k$ is independent of $n$, then the total arithmetic cost is at most $\mathcal{O}\left(k n^2\right)$. This is because at each step of the factorization, at most $k-1$ entries need to be eliminated, and hence at most $k-1$ rows will be updated. In addition, for such a matrix $\mathbf{A}$, if all entries above the $k$ th superdiagonal are zero, then the total work is at most $\mathcal{O}\left(k^2 n\right)$.

Finally, assume that we have completed the LU factorization and have $\mathbf{P}, \mathbf{L}$, and $\mathbf{U}$ such that $\mathbf{P A}=\mathbf{L U}$. To solve the linear system $\mathbf{A x}=\mathbf{b}$, note that it is equivalent to $\mathbf{L U x}=\mathbf{P A x}=\mathbf{P b}$, which leads to $\mathbf{x}=\mathbf{U}^{-1} \mathbf{L}^{-1} \mathbf{P b}$. This can be evaluated by (a) solving the lower triangular system $\mathbf{L y}=\mathbf{P b}$ by forward substitution, then (b) solving the upper triangular system $\mathbf{U x}=\mathbf{y}$ by back substitution. Note that if one needs to solve many linear systems $\mathbf{A x}_k=\mathbf{b}_k(k=1,2, \ldots)$ with the same matrix and different right-hand sides $\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \ldots$, then at the first step one does $O\left(n^3\right)$ work to create the LU factorization, but then reuses $\mathbf{L}$ and $\mathbf{U}$ so that each additional solve needs only $O\left(n^2\right)$ work.

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GE 在 Step 崩溃 $i$ 如果当前（修改后的）系数矩阵的第 $\mathrm{i}$ 个对角线条目（称为主元）为零（或接近 0 ），因为无法使用零主元消除 非零条目。零主元可能出现在 $G E$ 的任何一步，使算法失败，即使 $\mathbf{A}$ 是非奇异的并且是唯一的解决方室 $\mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{b}$ 存在。例如，考 虞线性方程

## 数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|Work in LU/GE

$\sum_{i=1}^{n-1}[(n-i)+(n-i)(n-i)]=\frac{1}{3}\left(n^3-n\right) \approx \frac{n^3}{3}$ 乘法/除法，和
$\sum_{i=1}^{n-1}(n-i)(n-i)=\frac{1}{6} n(n-1)(2 n-1) \approx \frac{1}{3} n^3$ 加法/减法。如果兆法和加法花费的时间大致相同（如今在许㶴平台上 都是这种情况），我们可以将它们结合起来，简单地说 LU 分解的算术成本是 $\frac{2}{3} n^3$ 人字拖加 $\frac{1}{2} n^2$ 比较。 角线为零，其中 $k$ 独立于 $n$ ，那么总的算术成本至多为 $\mathcal{O}\left(k n^2\right)$. 这是因为在分解的每一步，至多 $k-1$ 需要删除条目，因此最多 $k-1$ 行将被更新。另外，对于这样的矩阵 $\mathbf{A}$ ，如果上面的所有条目 $k$ 第 th 超对角线为零，则总功最 $\boldsymbol{\beta} \mathcal{O}\left(k^2 n\right)$.

$\mathbf{L U x}=\mathbf{P A x}=\mathbf{P b}$ ，这导致 $\mathbf{x}=\mathbf{U}^{-1} \mathbf{L}^{-1} \mathbf{P b}$. 这可以通过 ( $a$ ) 求解下三角系统来评估 $\mathbf{L} \mathbf{y}=\mathbf{P b}$ 通过正向代换，然后 (b) 求解上三角系统 $\mathbf{U x}=\mathbf{y}$ 通过反向拍换。请注意，如果需要求解多个线性系统 $\mathbf{A} \mathbf{x}_k=\mathbf{b}_k(k=1,2, \ldots)$ 具有相同的矩阵和不同 的右手边 $\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \ldots$,然后在第一步做 $O\left(n^3\right)$ 努力创建 LU 分解，然后重复使用 $\mathbf{L}$ 和U这样每个额外的解决方客只需要 $O\left(n^2\right) 工$ 作。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。