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# 数学代写|密码学代写Cryptography Theory代考|CSE546 The MOV Attack

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## 数学代写|密码学Cryptography Theory代考|The MOV Attack

Let $\overline{\mathbb{F}}_q$ denote an algebraic closure of $\mathbb{F}_q$. Let $n \geq 1$, and let
$$E(n)=\left{P \in E\left(\overline{\mathbb{F}}_q\right) \text { : the order of } P \text { in } E\left(\overline{\mathbb{F}}_q\right) \text { divides } n\right} .$$

Using the formula
$$\overline{\mathbb{F}}q=\bigcup{i=1}^{\infty} \mathbb{F}{q^i},$$ one sees that there exists a smallest positive integer $m$ for which $$E(n) \subseteq E\left(\mathbb{F}{q^m}\right) .$$
Thus, by Washington [63, Corollary $3.11], \mathbb{F}{q^m}$ contains the group $\mu_n$ of the $n$th roots of unity, i.e., $\mathbb{F}{q^m}$ contains all of the roots of the equation $x^n-1$. Since $\mu_n$ is a subgroup of $\mathbb{F}_{q^m}^{\times}$
$$q^m \equiv 1(\bmod n),$$
and thus $m$ is a multiple of the order of $(q \bmod n)$ in $U\left(\mathbb{Z}_n\right)$.

## 数学代写|密码学Cryptography Theory代考|Supersingular Curves

An elliptic curve $E\left(\mathbb{F}q\right)$ is supersingular if $p \mid t$, where $t$ is the trace of the curve. If $q=p$ and $p \geq 5$, then $E\left(\mathbb{F}_p\right)$ is supersingular if and only if $t=0$ (use Hasse’s theorem). For example, the elliptic curve $E\left(\mathbb{F}{151}\right)$ defined by
$$y^2=x^3+2 x$$
is supersingular, $\left|E\left(\mathbb{F}{151}\right)\right|=152$ and $t=0$. Let $E\left(\mathbb{F}_p\right), p \geq 5$, be a supersingular elliptic curve, and suppose that $P$ is a point of $E\left(\mathbb{F}_p\right)$ of order $n$. Then $n$ divides $p+1=\left|E\left(\mathbb{F}_p\right)\right|$ and so, $\operatorname{gcd}(n, p)=1$. Now, by Washington [63, Proposition 5.3], $E(n) \subseteq E\left(\mathbb{F}{p^2}\right)$ and so $m=1$ or 2 .
So, under the MOV attack, solving the ECDLP in $\langle P\rangle$ is no harder than solving
Thus for use in ECKEP, an elliptic curve $E\left(\mathbb{F}_p\right), p \geq 5$, should not be supersingular, else we lose the main advantage of ECKEP over DHKEP: there are no Index Calculus methods for ECDLP.

## 数学代写|密码学Cryptography Theory代考|The MOV Attack

〈left 缺少或无法识别的分隔符

$$\overline{\mathbb{F}} q=\bigcup i=1^{\infty} \mathbb{F} q^i,$$

$$E(n) \subseteq E\left(\mathbb{F} q^m\right) .$$
$$q^m \equiv 1(\bmod n),$$

## 数学代写|密码学Cryptography Theory代考|Supersingular Curves

$$y^2=x^3+2 x$$

ECDLP 没有指数微积分方法。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。