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# 数学代写|随机分析代写Stochastic Calculus代考|IMSE760 The G¨artner-Ellis Theorem

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## 数学代写|随机分析代写Stochastic Calculus代考|The G¨artner-Ellis Theorem

Let $\left(Y_n\right)$ be a sequence of $\mathbb{R}^d$-valued random vectors, and let $\mu_n:=\mu_{Y_n} \in$ $\mathcal{M}1\left(\mathbb{R}^d\right)$, the distribution of $Y_n$. For each $n \in \mathbb{N}$, define the logarithmic moment generating function $$\Lambda_n(\lambda):=\log E\left(e^{\left(\lambda, Y_n\right\rangle}\right)=\log \int{\mathbb{R}^d} e^{\langle\lambda, x\rangle} d \mu_n(x), \quad \lambda \in \mathbb{R}^d,$$
where $\langle\lambda, x\rangle$ is the usual inner product in $\mathbb{R}^d$. Note that $\Lambda_n$ is well defined as a function on $\mathbb{R}^d$ with values in $(-\infty, \infty]$. We assume:
Assumption 3.1. For every $\lambda \in \mathbb{R}^d$, the limit
$$\Lambda(\lambda):=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \Lambda_n(n \lambda)$$
exists in $[-\infty, \infty]$. This function $\Lambda$ on $\mathbb{R}^d$ is called the limiting logarithmic moment generating function. Moreover, we assume that 0 is in the interior $(\operatorname{dom} \Lambda)^{\circ}$ of $\operatorname{dom} \Lambda:=\left{\lambda \in \mathbb{R}^d: \Lambda(\lambda)<\infty\right}$.

The aim of this section is to show the result called Varadhan’s integral lemma, which is a general outgrowth of the LDP with a good rate function and provides quite an important tool in applications of LDP. In this section we assume that $\mathcal{X}$ is a regular topological space.

Theorem 4.1 (Varadhan). Let $\mathcal{X}$ be a regular topological space. Assume that $\left(\mu_n\right) \subset \mathcal{M}1(\mathcal{X})$ satisfies the $L D P$ in the scale $\varepsilon_n$ with a good rate function $I$. Let $\phi: \mathcal{X} \rightarrow \mathbb{R}$ be a continuous function. If $\phi$ satisfies $$\lim {L \rightarrow \infty} \limsup {n \rightarrow \infty} \varepsilon_n \log \int{{\phi \geq L}} e^{\phi(x) / \varepsilon_n} d \mu_n(x)=-\infty,$$
then
$$\lim {n \rightarrow \infty} \varepsilon_n \log \int{\mathcal{X}} e^{\phi(x) / \varepsilon_n} d \mu_n(x)=\sup {x \in \mathcal{X}}{\phi(x)-I(x)} .$$ In particular, this holds if $\phi$ satisfies $$\limsup {n \rightarrow \infty} \varepsilon_n \log \int_{\mathcal{X}} e^{\alpha \phi(x) / \varepsilon_n} d \mu_n(x)<\infty$$ for some $\alpha>1$.

## 数学代写|随机分析代写Stochastic Calculus代考|The G”artner-Ellis Theorem

$$\Lambda_n(\lambda):=\log E\left(e^{\left(\lambda, Y_n\right)}\right)=\log \int \mathbb{R}^d e^{(\lambda, x)} d \mu_n(x), \quad \lambda \in \mathbb{R}^d,$$

$$\Lambda(\lambda):=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \Lambda_n(n \lambda)$$
\left 缺少或无法识别的分隔符

$$\lim L \rightarrow \infty \lim \sup n \rightarrow \infty \varepsilon_n \log \int \phi \geq L e^{\phi(x) / \varepsilon_n d \mu_n}(x)=-\infty,$$

$$\lim n \rightarrow \infty \varepsilon_n \log \int \mathcal{X} e^{\phi(x) / \varepsilon_n} d \mu_n(x)=\sup x \in \mathcal{X} \phi(x)-I(x) .$$

$$\lim \sup n \rightarrow \infty \varepsilon_n \log \int_{\mathcal{X}} e^{\alpha \phi(x) / \varepsilon_n} d \mu_n(x)<\infty$$ 对于一些 $\alpha>1$.

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。