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# 数学代写|随机分析代写Stochastic Calculus代考|MATH581 White Noise Operators

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## 数学代写|随机分析代写Stochastic Calculus代考|White noise operators and their symbols

A continuous linear operator from $\mathcal{W}$ into $\mathcal{W}^$ is called a white noise operator. The space of white noise operators is denoted by $\mathcal{L}\left(\mathcal{W}, \mathcal{W}^\right)$ and is equipped with the bounded convergence topology. Since the natural inclu$\operatorname{sion} \mathcal{W} \rightarrow \mathcal{W}^$ is continuous, we have a continuous inclusion $$\mathcal{L}(\mathcal{W}, \mathcal{W}) \subset \mathcal{L}\left(\mathcal{W}, \mathcal{W}^\right)$$
By restriction, we also have
$$\mathcal{L}\left(\mathcal{W}^, \mathcal{W}^\right) \subset \mathcal{L}\left(\mathcal{W}, \mathcal{W}^*\right)$$

Thus, the white noise operators cover a wide class of Fock space operators. In particular, every bounded operator on the Fock space $\Gamma(H)$ is a white noise operator.

Since $\mathcal{W}$ is a nuclear space, applying the kernel theorem we have the canonical isomorphism:
$$\mathcal{L}\left(\mathcal{W}, \mathcal{W}^\right) \cong \mathcal{W}^ \otimes \mathcal{W}^*$$
which is defined by
$$\langle\langle\Xi \phi, \psi\rangle\rangle=\left\langle\left\langle\Xi^K, \psi \otimes \phi\right\rangle\right\rangle, \quad \phi, \psi \in \mathcal{W} .$$

## 数学代写|随机分析代写Stochastic Calculus代考|Quantum white noise

We are now in a position to introduce the most fundamental white noise operators. With each $f \in E^$ we associate the annihilation operator $a(f)$ defined by $$a(f): \phi=\left(f_n\right){n=0}^{\infty} \mapsto\left((n+1) f \otimes_1 f{n+1}\right){n=0}^{\infty},$$ where $f \otimes_1 f_n$ stands for the right contraction defined by $$\left\langle f \otimes_1 f_n, \xi_1 \otimes \cdots \otimes \xi{n-1}\right\rangle=\left\langle f_n, \xi_1 \otimes \cdots \otimes \xi_{n-1} \otimes f\right\rangle .$$
We prove below that $a(f) \in \mathcal{L}(\mathcal{W}, \mathcal{W})$. The adjoint operator $a^(f) \in$ $\mathcal{L}\left(\mathcal{W}^, \mathcal{W}^\right)$ is defined by
$$\left\langle\left\langle a^(f) \Phi, \phi\right\rangle\right\rangle=\langle\langle\Phi, a(f) \phi\rangle\rangle, \quad \Phi \in \mathcal{W}^, \quad \phi \in \mathcal{W} .$$
We call $a^(f)$ the creation operator. It is straightforward to see that $$\left.a^(f): \phi=\left(f_n\right){n=0}^{\infty} \mapsto\left(f \widehat{\otimes} f{n-1}\right){n=0}^{\infty}, \quad \text { (understanding that } f{-1}=0\right) .$$

## 数学代写|随机分析代写Stochastic Calculus代考|White noise operators and their symbols

\left 或额外的 \right }

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$$\langle\langle\Xi \phi, \psi\rangle\rangle=\left\langle\left\langle\Xi^K, \psi \otimes \phi\right\rangle\right\rangle, \quad \phi, \psi \in \mathcal{W} .$$

## 数学代写|随机分析代写Stochastic Calculus代考|Quantum white noise

$$a(f): \phi=\left(f_n\right) n=0^{\infty} \mapsto\left((n+1) f \otimes_1 f n+1\right) n=0^{\infty},$$

$$\left\langle f \otimes_1 f_n, \xi_1 \otimes \cdots \otimes \xi n-1\right\rangle=\left\langle f_n, \xi_1 \otimes \cdots \otimes \xi_{n-1} \otimes f\right\rangle .$$

$$\left\langle\left\langle a^{(f)} \Phi, \phi\right\rangle\right\rangle=\langle\langle\Phi, a(f) \phi\rangle\rangle, \quad \Phi \in \mathcal{W}, \quad \phi \in \mathcal{W} .$$

$$\left.\left.a^{(} f\right): \phi=\left(f_n\right) n=0^{\infty} \mapsto(f \widehat{\otimes} f n-1) n=0^{\infty}, \quad \text { (understanding that } f-1=0\right) .$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。