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# 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Math4120 Buchberger’s Algorithm

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## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Buchberger’s Algorithm

In this section, we describe the original version of Buchberger’s algorithm which is simple to use. It is not optimal, because an obtained Gröbner basis may not to be minimal, i.e., it can contain some number of unnecessary polynomials.

Buchberger’s algorithm answers the question of what way, for a given finite set $F$ of polynomials, can we find a finite set of polynomials $G$ which is a Gröbner basis for the ideal $\langle\mathrm{id}(F)\rangle$, i.e., $\langle\operatorname{id}(F)\rangle=\langle\mathrm{id}(G)\rangle$.

The implementation of Buchberger’s algorithm is based on Theorem 8.73. At the beginning of the algorithm, we have a set of generators $F=\left{f_1, f_2, \ldots, f_n\right}$ of an ideal $\mathcal{I}=\left\langle f_1, f_2, \ldots, f_n\right\rangle$. First, we assume that $G=F$. On each step of the algorithm, we find a new basis of $\mathcal{I}$ beginning from $G$ and computing an $S$-polynomial $S[f, g]$, for all pairs of polynomials $f, g \in G$ such that $f \neq g$, and then its remainder on dividing by the set $H$. If the reduced form $h$ of some $S$-polynomial $S[f, g]$ is not equal to zero, then we add the polynomial $h$ to $G$ and obtain a new set $G:=G \cup{h}$. In this case, we repeat our process with the new set $G$. The algorithm terminates when reduced forms of all $S$-polynomials of $G$ with regard to the set $G$ are equal to zero. Then, the obtained set $G$ is a Gröbner basis of the ideal $\mathcal{I}$.

In what follows, we give the scheme of the original Buchberger’s algorithm, which is given by Buchberger in his Ph.D. thesis.

## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Minimal and Reduced Gröbner Basis

Note, that a Gröbner basis is not determined uniquely. Moreover, in constructing a Gröbner basis, we do not require its minimality. If $G$ is a Gröbner basis of an ideal $\mathcal{I}$, then it is easy to show that each finite set $H$ such that $G \subset H \subset \mathcal{I}$ is also a Gröbner basis. For correctness of such non-minimality and to obtain some minimal uniquely determined Gröbner basis, we will use the method of reduction of a Gröbner basis. First of all, there are redundant polynomials in a Gröbner basis that can be eliminated.

The main question is: “How to remove redundant polynomials in a Gröbner basis?”

Let $G=\left{g_1, g_2, \ldots, g_m\right}$ be a Gröbner basis of an ideal $\mathcal{I}$. Since $\langle$ in $(\mathcal{I})\rangle=$ $\left\langle\operatorname{in}\left(g_1\right), \operatorname{in}\left(g_2\right), \ldots, \operatorname{in}\left(g_m\right)\right\rangle$, a polynomial $g_i$ can be eliminated from the set $G$ if there exists an index $j$ such that $\operatorname{in}\left(g_i\right)$ is divisible by $\operatorname{in}\left(g_j\right)$. Then, we obtain a new basis $G \backslash\left{g_i\right}$.

# 现代代数代写

## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Buchberger’s Algorithm

Buchberger 算法的实现基于定理 8.73。在算法的开始，我们有一组生成器〈left 缺少或无法识别的分隔符 个理想的 $\mathcal{I}=\left\langle f_1, f_2, \ldots, f_n\right\rangle$. 首先，我们假设 $G=F$. 在算法的每一步，我们都会找到一个新的基础 $\mathcal{I}$ 开始于 $G$ 并计算一个 $S$ 多项式 $S[f, g]$, 对于所有多项式对 $f, g \in G$ 这样 $f \neq g$, 然后它除以集合的余数 $H$. 如果简化形式 $h$ 一些中的 $S$-多项式 $S[f, g]$ 不等 于零，那么我们加上多项式 $h$ 到 $G$ 并获得一套新的 $G:=G \cup h$. 在这种情况下，我们用新的債合重复我们的过程 $G$. 当所有的简化 形式时算法終止 $S$-多项式 $G$ 关于集合 $G$ 等于零。那么，得到的集合 $G$ 是理想的 Gröbner 基 $\mathcal{I}$.

## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Minimal and Reduced Gröbner Basis

〈in $\left(g_1\right)$, in $\left(g_2\right), \ldots$, in $\left.\left(g_m\right)\right\rangle$,一个多项式 $g_i$ 可以从集合中消除 $G$ 如果存在索引引j这样in $\left(g_i\right)$ 被整除诀n $\left(g_j\right)$. 然后，我们得到— 个新的量础1left 缺少或无法识别的分隔符

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