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# 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|MATH611 Polynomials in Several Variables

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## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Polynomials in Several Variables

In general, cryptography is the method of hiding a secret by encryption. Participants of interchanging information are a sender and a recipient who want to have an assurance that their correspondence will not be intercepted and read by an adversary.

A security process of transformation of an original message or information into secret code to hide its content is called encryption, and an encrypting message is called a ciphertext. The message or information in its original form is called the plaintext or the original text. The reverse process of finding the original message from the ciphertext is called decryption. Data or plaintext is encrypted into a ciphertext with encryption algorithm or encryption function, while the reverse algorithm of decoding a ciphertext into an original message is called an decryption algorithm or decryption function. The pair of an encryption algorithm and a decryption algorithm is often called a cryptosystem, or a cryptographic algorithm, or a cipher.
In modern cryptographic algorithms, the security is provided thanks to using encryption and decryption keys which are some parameters of a cipher. A key is a secret and, ideally, it must be known only for confidential correspondents. There are two types of keys: Private and public keys. Depending on using keys, cryptosystems are divided by two different types.

## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Polynomial Rings in Several Variables

Similar to polynomials in one variable, we can introduce polynomials in two variables with coefficients in a commutative ring $K$.

• Definition $8.1$.
A polynomial in two variables $x_1, x_2$ over a commutative ring $K$ is defined as
$$P\left(x_1, x_2\right)=\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^m a_{i j} x_1^i x_2^j,$$
where $a_{i j} \in K$ for $i=0,1, \ldots, n ; j=0,1, \ldots, m$. Elements $a_{i j}$ are called coefficients of a polynomial. We assume that $x_i^0=1$ and $1 \cdot x_i=x_i^1=x_i$ for $i=1,2$.
We consider two polynomials
$$\begin{array}{r} P\left(x_1, x_2\right)=\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^m a_{i j} x_1^i x_2^j \ Q\left(x_1, x_2\right)=\sum_{i=0}^k \sum_{j=0}^t b_{i j} x_1^i x_2^j \end{array}$$
to be equal if $n=k, m=t$ and $a_{i j}=b_{i j}$ for all $i=0,1, \ldots, n$ and all $j=0,1, \ldots, m$.

# 现代代数代写

## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Polynomial Rings in Several Variables

• 定义8.1.
两个变量的多项式 $x_1, x_2$ 在交换环上 $K$ 定义为
$$P\left(x_1, x_2\right)=\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^m a_{i j} x_1^i x_2^j,$$
在㑚里 $a_{i j} \in K$ 为了 $i=0,1, \ldots, n ; j=0,1, \ldots, m$. 元素 $a_{i j}$ 称为多项式的系数。我们假设 $x_i^0=1$ 和 $1 \cdot x_i=x_i^1=x_i$ 为了 $i=1,2$.
我们考虑两个多项式
$$P\left(x_1, x_2\right)=\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^m a_{i j} x_1^i x_2^j Q\left(x_1, x_2\right)=\sum_{i=0}^k \sum_{j=0}^t b_{i j} x_1^i x_2^j$$
等于如果 $n=k, m=t$ 和 $a_{i j}=b_{i j}$ 对全部 $i=0,1, \ldots, n$ 和所有 $j=0,1, \ldots, m$.

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。