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# 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Math461 Harmonic Functions

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## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Harmonic Functions

In this chapter, $E$ is always a countable set and $X$ is a discrete Markov chain on $E$ with transition matrix $p$ and Green function $G$. Recall that $F(x, y)$ is the probability of hitting $y$ at least once when starting at $x$. Compare Sect. 17.4, in particular, Definitions $17.29$ and $17.34$.

Definition $19.1$ Let $A \subset E$. A function $f: E \rightarrow \mathbb{R}$ is called harmonic on $E \backslash A$ if $p f(x)=\sum_{y \in E} p(x, y) f(y)$ exists and if $p f(x)=f(x)$ for all $x \in E \backslash A$.

Theorem 19.2 (Superposition principle) Assume $f$ and $g$ are harmonic on $E \backslash A$ and let $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$. Then $\alpha f+\beta g$ is also harmonic on $E \backslash A$.
Proof This is trivial.
Example 19.3 Let $X$ be transient and let $a \in E$ be a transient state (that is, $a$ is not absorbing). Then $f(x):=G(x, a)$ is harmonic on $E \backslash{a}$ : For $x \neq a$, we have
$$p f(x)=p \sum_{n=0}^{\infty} p^n(x, a)=\sum_{n=1}^{\infty} p^n(x, a)=G(x, a)-\mathbb{1}_{{a}}(x)=G(x, a) .$$

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Reversible Markov Chains

Definition 19.8 The Markov chain $X$ is called reversible with respect to the measure $\pi$ if
$$\pi({x}) p(x, y)=\pi({y}) p(y, x) \quad \text { for all } x, y \in E .$$
Equation (19.6) is sometimes called the equation of detailed balance. $X$ is called reversible if there is a $\pi$ with respect to which $X$ is reversible.

Remark 19.9 If $X$ is reversible with respect to $\pi$, then $\pi$ is an invariant measure for $X$ since
$$\pi p({x})=\sum_{y \in E} \pi({y}) p(y, x)=\sum_{y \in E} \pi({x}) p(x, y)=\pi({x})$$

# 概率论代写

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Harmonic Functions

: 为了 $x \neq a$ ，我们有
$$p f(x)=p \sum_{n=0}^{\infty} p^n(x, a)=\sum_{n=1}^{\infty} p^n(x, a)=G(x, a)-\mathbb{1}_a(x)=G(x, a) .$$

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Reversible Markov Chains

$$\pi(x) p(x, y)=\pi(y) p(y, x) \quad \text { for all } x, y \in E .$$

$$\pi p(x)=\sum_{y \in E} \pi(y) p(y, x)=\sum_{y \in E} \pi(x) p(x, y)=\pi(x)$$

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。