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# 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|MATH630 Discrete Markov Processes in Continuous Time

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## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Discrete Markov Processes in Continuous Time

Let $E$ be countable and let $\left(X_t\right)_{t \in[0, \infty)}$ be a Markov process on $E$ with transition probabilities $p_t(x, y)=\mathbf{P}_x\left[X_t=y\right]$ (for $x, y \in E$ ). (Some authors call such a process a Markov chain in continuous time.)

Let $x, y \in E$ with $x \neq y$. We say that $X$ jumps with rate $q(x, y)$ from $x$ to $y$ if the following limit exists:
$$q(x, y):=\lim {t \downarrow 0} \frac{1}{t} \mathbf{P}_x\left[X_t=y\right] .$$ Henceforth we assume that the limit $q(x, y)$ exists for all $y \neq x$ and that $$\sum{y \neq x} q(x, y)<\infty \text { for all } x \in E .$$
Then we define
$$q(x, x)=-\sum_{y \neq x} q(x, y)$$

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Discrete Markov Chains: Recurrence and Transience

In the following, let $X=\left(X_n\right)_{n \in \mathbb{N}_0}$ be a Markov chain on the countable space $E$ with transition matrix $p$.
Definition 17.29 For any $x \in E$, let $\tau_x:=\tau_x^1:=\inf \left{n>0: X_n=x\right}$ and
$$\tau_x^k=\inf \left{n>\tau_x^{k-1}: X_n=x\right} \quad \text { for } k \in \mathbb{N}, k \geq 2$$
$\tau_x^k$ is the kth entrance time of $X$ for $x$. For $x, y \in E$, let
$$F(x, y):=\mathbf{P}_x\left[\tau_y^1<\infty\right]=\mathbf{P}_x\left[\text { there is an } n \geq 1 \text { with } X_n=y\right]$$ be the probability of ever going from $x$ to $y$. In particular, $F(x, x)$ is the return probability (after the first jump) from $x$ to $x$. Note that $\tau_x^1>0$ even if we start the chain at $X_0=x$.

# 概率论代写

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Discrete Markov Chains: Recurrence and Transience

\left 缺少或无法识别的分隔符
$\tau_x^k$ 是第 $\mathrm{k}$ 个进入时间 $X$ 为了 $x$. 为了 $x, y \in E$ ，让
$F(x, y):=\mathbf{P}_x\left[\tau_y^1<\infty\right]=\mathbf{P}_x\left[\right.$ there is an $n \geq 1$ with $X_n=y$ ] 是从 $x$ 到 $y$. 尤其， $F(x, x)$ 是返回概率 (在第一次跳跃之后) $x$ 到 $x$. 注意 $\tau_x^1>0$ 即使我们开始链 $X_0=x$.

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## MATLAB代写

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