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# 数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|MATH611 INVOLUTIONS IN BANACH ALGEBRAS

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## 数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|INVOLUTIONS IN BANACH ALGEBRAS

A Banach algebra $A$ is called a Banach ${ }^$-algebra if it has an involution, that is, if there exists a mapping $x \rightarrow x^$ of $A$ into itself with the following properties:
(1) $(x+y)^=x^+y^$; (2) $(\alpha x)^=\bar{\alpha} x^$; (3) $(x y)^=y^* x^$; (4) $x^{ }=x$. It is an easy consequence of (4) that the involution $x \rightarrow x^$ is actually a one-to-one mapping of $A$ onto itself. We also note that $0^=0$ and $1^=1$, as we see from $0+x^=x^=(0+x)^=0^+x^$ and $1^=11^=1^{ } 1^=\left(11^\right)^=\left(1^\right)^=1^{* }=1$. The element $x^$ is called the adjoint of $x$, and a subalgebra of $A$ is said to be self-adjoint if it contains the adjoint of each of its elements. If $A^{\prime}$ is also a Banach -algebra, and if $f$ is an isomorphism of $A$ onto $A^{\prime}$, then $f$ is called a ${ }^$-isomorphism if it preserves the involution in the sense that $f\left(x^\right)=f(x)^$.

## 数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|THE GELFAND-NEUMARK THEOREM

We are now in a position to give Theorem 71-C its final form.
Theorem A. If $A$ is a commutative $B^$-algebra, then the Gelfand mapping $x \rightarrow \hat{x}$ is an isometric ${ }^$-isomorphism of $A$ onto the commutative $B^$-algebra $\mathbb{e}(\mathfrak{T})$ Proof. Since $A$ is commutative, each of its elements is normal, and it follows from Theorem 72-A that $\left|x^2\right|=|x|^2$ for every $x$. By Theorem 71-C, it now suffices to show that $\widehat{x^}(M)=\overline{\hat{x}(M)}$ for each $x$ in $A$ and $M$ in $\mathfrak{T .}$.

Our first step is to prove that if $x$ is self-adjoint, then $\hat{x}(M)$ is real for every $M$. We assume the contrary, namely, that there exists an $M$ such that $\hat{x}(M)=\alpha+i \beta$ with $\beta \neq 0$. Since $x$ is self-adjoint,
$$y=(x-\alpha 1) / \beta$$

is also self-adjoint. We further note that $\hat{y}(M)=i$, so $y-i 1$ is in $M$. It is obvious from the properties of the involution in $A$ that
$$M^=\left{m^: m \varepsilon M\right}$$

## 数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|NVOLUTIONS IN BANACH ALGEBRAS -algebra

（1）缺少上标或下标参数
（2）缺少上标或下标参数
; (3)

; (4) $x=x$. (4) 的一个简单结果是对合

## 数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|THE GELFAND-NEUMARK THEOREM

-代数，然后是 Gelfand 映射 $x \rightarrow \hat{x}$ 是等距的

$$y=(x-\alpha 1) / \beta$$

$$M^=\left{m^: m \varepsilon M\right}$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。