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# 数学代写|解析数论代写Analytic Number Theory代考|MA3150 Characters of U8

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## 数学代写|解析数论代写Analytic Number Theory代考|Characters of U8

If $G$ is a finite commutative group, by a “character” of $G$ we mean a homomorphism $\chi: G \rightarrow{z \in \mathbb{C}:|z|=1}$ (the target set here forming a group under multiplication). We use the symbol $\chi_0$ to denote the “trivial character” mapping all of $G$ to 1. For example, when $G=\mathbb{U}_3$ there is precisely one nontrivial character $\chi$, and the table of characters along with their values is very simple (shown at right, below) (Table 13.1).
13.126 Show that if $\chi$ is a character of $\mathbb{U}_8$, then $\chi(g)^2=1$ for all $g \in \mathbb{U}_8$. Use this to show that $\mathbb{U}_8$ has exactly 3 nontrivial characters, with character table as follows:

13.127 Calculate the sum of each row of the table. Conclude that the indicator function $\mathcal{I}{1 \bmod 8}: \mathbb{U}_8 \rightarrow{0,1}$ corresponding to the element $1 \bmod 8 \in \mathbb{U}_8$ is given by $\mathcal{I}{1 \bmod 8}=\frac{1}{4}\left(\chi_0+\chi_1+\chi_2+\chi_3\right)$.

## 数学代写|解析数论代写Analytic Number Theory代考|Dirichlet L-Functions for m = 8

Let $m$ be a positive integer. If $\chi$ is a character of $\mathbb{U}_m$, we associate to $\chi$ the function on $\mathbb{Z}$ which takes the value $\chi(n \bmod m)$ at integers $n$ coprime to $m$, and the value 0 at all other integers. We use the same notation for both the original function on $\mathbb{U}_m$ and this “lift” to a function on $\mathbb{Z}$; this will not cause any confusion.

The functions on $\mathbb{Z}$ that arise this way are called the “Dirichlet characters” modulo $m$. By construction, each Dirichlet character $\chi$ satisfies
$$\chi(a b)=\chi(a) \chi(b) \quad \text { for all } a, b \in \mathbb{Z} .$$
For each Dirichlet character $\chi$, we define the “Dirichlet $L$-function” associated to $\chi$ by
$$L(s, \chi)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\chi(n)}{n^s} .$$

## 数学代写|解析数论代写Analytic Number Theory代考|Characters of U8

$13.126$ 证明如果 $\chi$ 是一个字符 $U_8$ ，然后 $\chi(g)^2=1$ 对全部 $g \in \mathbb{U}_8$. 用这个来表明 $\mathbb{U}_8$ 恰好有 3 个非平凡字符，字 符表如下:
$13.127$ 计算表格每一行的总和。得出指标函数 $\mathcal{I} 1 \bmod 8: \mathbb{U}_8 \rightarrow 0,1$ 对应元素 $1 \bmod 8 \in \mathbb{U}_8$ 是 (谁) 给的 $\mathcal{I} 1 \bmod 8=\frac{1}{4}\left(\chi_0+\chi_1+\chi_2+\chi_3\right)$.

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。