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# 数学代写|解析数论代写Analytic Number Theory代考|MATH613D Computing with Roots of Unity

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## 数学代写|解析数论代写Analytic Number Theory代考|Distribution of Prime Numbers

4.39 Let $m \in \mathbb{Z}^{+}$. For $a \in \mathbb{Z}$ :
$$\frac{1}{m} \sum_{k \bmod m} \mathrm{e}^{2 \pi \mathrm{i} k a / m}= \begin{cases}1 & \text { if } a \equiv 0(\bmod m), \ 0 & \text { otherwise }\end{cases}$$

Here the sum on $k$ is taken over any set of integer representatives of $\mathbb{Z}m$. 4.40 (Counting Square Roots $\bmod m$ ) Let $m \in \mathbb{Z}^{+}$. For $n \in \mathbb{Z}$ : $$#\left{a \bmod m: a^2 \equiv n(\bmod m)\right}=\frac{1}{m} \sum{k \bmod m} \mathrm{e}^{2 \pi \mathrm{i} k n / m} \sum_{a \bmod m} \mathrm{e}^{-2 \pi \mathrm{i} k a^2 / m}$$
Dirichlet Series
By now we have seen multiple expressions of the form $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a(n)}{n^s}$, where the $a(n)$ are complex numbers. These are known as “Dirichlet series”.
4.41 Suppose that $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a(n)}{n^s}$ is a Dirichlet series that converges for some real number $s=s_0$. Then for some real number $C$, we have $|a(n)| \leq C n^{s_0}$ for all $n$. Hence, $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a(n)}{n^s}$ converges absolutely for every $s>s_0+1$. Furthermore, for every $m \in \mathbb{Z}^{+}:$
$$\lim {s \rightarrow \infty} m^s \sum{n=m}^{\infty} \frac{a(n)}{n^s}=a(m) .$$

## 数学代写|解析数论代写Analytic Number Theory代考|Mathematical Masterpieces: The Identity as Art Form

4.42 (GOLDBACH) Find the sum of the infinite series
$$\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{15}+\frac{1}{24}+\frac{1}{26}+\frac{1}{31}+\frac{1}{35}+\frac{1}{48}+\frac{1}{63}+\ldots$$
whose denominators, increased by 1 , are the distinct numbers of the form $n^m$ with $n, m \geq 2$ (the perfect powers).

## 数学代写|解析数论代写Analytic Number Theory代考|Distribution of Prime Numbers

$4.39$ 让 $m \in \mathbb{Z}^{+}$. 为了 $a \in \mathbb{Z}$ :
$$\frac{1}{m} \sum_{k \bmod m} \mathrm{e}^{2 \pi i k a / m}={1 \quad \text { if } a \equiv 0(\bmod m), 0 \quad \text { otherwise }$$

$4.41$ 假设 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a(n)}{n^s}$ 是收敛于某个实数的 Dirichlet 级数 $s=s_0$. 然后对于一些实数 $C$ ，我们 $\mid$ 有 $|a(n)| \leq C n^{s 0}$ 对全部 $n$. 因此，
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a(n)}{n^s}$ 对每个绝对收敛 $s>s_0+1$. 此外，对于每个 $m \in \mathbb{Z}^{+}:$
$$\lim s \rightarrow \infty m^s \sum n=m^{\infty} \frac{a(n)}{n^s}=a(m)$$

## 数学代写|解析数论代写Analytic Number Theory代考|Mathematical Masterpieces: The Identity as Art Form

$4.42$ (GOLDBACH) 求无限级数的和
$$\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{15}+\frac{1}{24}+\frac{1}{26}+\frac{1}{31}+\frac{1}{35}+\frac{1}{48}+\frac{1}{63}+\ldots$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。