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# 数学代写|解析数论代写Analytic Number Theory代考|MMA340 Distribution of Prime Numbers

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## 数学代写|解析数论代写Analytic Number Theory代考|Distribution of Prime Numbers

8.77 For all $x>0: \quad \pi(x) ! \leq \prod_{p \leq x} p \leq \operatorname{LCM}(x)$.
8.78 (Chebyshev) Fix $\epsilon>0$. For all sufficiently large $x$ :
$$\pi(x) \leq(\log 4+\epsilon) \frac{x}{\log x} .$$
8.79 For $x>0: \quad \log \operatorname{LCM}(x)=\sum_{p \leq x} \log p\left\lfloor\frac{\log x}{\log p}\right\rfloor \leq \pi(x) \log x$.
8.80 (Chebyshev) Fix $\epsilon>0$. For all sufficiently large $x$ :

$$\pi(x) \geq(\log 2-\epsilon) \frac{x}{\log x}$$
8.81 Fix $K>2$. For all sufficiently large $x$, there is a prime in the interval $(x, K x]$.
8.82 For $x>0:\lfloor x\rfloor !=\prod_{m \leq x} \operatorname{LCM}(x / m)$.

## 数学代写|解析数论代写Analytic Number Theory代考|Variations on a Theme of Euler

8.83 Let $\chi: \mathbb{Z} \rightarrow{-1,0,1}$ be defined by
\chi(n)=\left{\begin{aligned} 1 & \text { if } n \equiv 1 \quad(\bmod 3), \ -1 & \text { if } n \equiv-1 \quad(\bmod 3), \ 0 & \text { if } 3 \mid n . \end{aligned}\right.
Put $\quad L(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\chi(n)}{n^s}$
$$=1-\frac{1}{2^s}+\frac{1}{4^s}-\frac{1}{5^s}+\frac{1}{7^s}-\frac{1}{8^s}+\frac{1}{10^s}-\frac{1}{11^s}+\ldots$$
Show that for $s>1$ :
(a) $L(s)=\prod_p \frac{1}{1-\frac{\chi(p)}{p^s}}$.
(b) $1 \geq L(s) \geq 1 / 2$. As a consequence, $\log L(s)=O(1)$.
(c) $\sum_{p \equiv 1} \frac{1}{p^s}-\sum_{p \equiv-1(\bmod 3)} \frac{1}{p^s}=O(1)$.
(d) For $1<s<2$, and either choice of $\pm$ sign:
$$\sum_{p \equiv \pm 1(\bmod 3)} \frac{1}{p^s}=\frac{1}{2} \log \frac{1}{s-1}+O(1) .$$

## 数学代写|解析数论代写Analytic Number Theory代考|Distribution of Prime Numbers

$8.77$ 对于所有人 $x>0: \pi(x) ! \leq \prod_{p \leq x} p \leq \operatorname{LCM}(x)$.
$8.78$ (切比雪夫) 修复 $\epsilon>0$. 对于所有足够大的 $x$ :
$$\pi(x) \leq(\log 4+\epsilon) \frac{x}{\log x} .$$
$8.79$ 对于 $x>0: \quad \log \operatorname{LCM}(x)=\sum_{p \leq x} \log p\left\lfloor\frac{\log x}{\log p}\right\rfloor \leq \pi(x) \log x$.
$8.80$ (切比雪夫) 修复 $\epsilon>0$. 对于所有足够大的 $x$ :
$$\pi(x) \geq(\log 2-\epsilon) \frac{x}{\log x}$$
8.81修复 $K>2$. 对于所有足够大的 $x$ ，区间内有睋数 $(x, K x]$.
$8.82$ 对于 $x>0:\lfloor x\rfloor !=\prod_{m \leq x} \operatorname{LCM}(x / m)$.

## 数学代写|解析数论代写Analytic Number Theory代考|Variations on a Theme of Euler

$8.83$ 让 $\chi: \mathbb{Z} \rightarrow-1,0,1$ 由
\chi(n)=\left{\begin{aligned} 1 & \text { if } n \equiv 1 \quad(\bmod 3), \ -1 & \text { if } n \equiv-1 \quad(\bmod 3), \ 0 & \text { if } 3 \mid n . \end{aligned}\right.
Put $\quad L(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\chi(n)}{n^s}$
$$=1-\frac{1}{2^s}+\frac{1}{4^s}-\frac{1}{5^s}+\frac{1}{7^s}-\frac{1}{8^s}+\frac{1}{10^s}-\frac{1}{11^s}+\ldots$$
Show that for $s>1$ :
(a) $L(s)=\prod_p \frac{1}{1-\frac{\chi(p)}{p^s}}$.
(b) $1 \geq L(s) \geq 1 / 2$. As a consequence, $\log L(s)=O(1)$.
(c) $\sum_{p \equiv 1} \frac{1}{p^s}-\sum_{p \equiv-1(\bmod 3)} \frac{1}{p^s}=O(1)$.
(d) For $1<s<2$, and either choice of $\pm$ sign:
$$\sum_{p \equiv \pm 1(\bmod 3)} \frac{1}{p^s}=\frac{1}{2} \log \frac{1}{s-1}+O(1) .$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。