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# 数学代写|数学物理方法代写Mathematical Methods代考|MATH0056 Orders of magnitude

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## 数学代写|数学物理方法代写Mathematical Methods代考|Orders of magnitude

1.08. Orders of magnitude. If as $x$ tends to a limit $\phi(x)$ tends to 0 or $\infty$, and $f(x) / \phi(x)$ is bounded, we say that $f(x)=O{\phi(x)}$, or that $f(x)$ is of the same order of magnitude as $\phi(x)$. If $f(x) / \phi(x) \rightarrow 0$ as $\phi(x) \rightarrow 0$ we write $f(x)=o{\phi(x)}$. If $f(x)$ is bounded we can write $f(x)=O(1)$. This notation must be distinguished from the common usage in physics, where we may say that the masses of Jupiter and Saturn are of the same order of magnitude, meaning roughly that they differ by not more than a factor 10 without there being any question of a limit. In the physical sense the quantities compared must have the same dimensions. This is not necessary in the mathematical sense. $x$ may, for instance, be a time-interval and $f(x)$ the distance travelled by a sound wave. Then $f(x)=O(x)$ because $f(x) / x$ is the velocity of sound and is supposed finite.
Note that
$$O\left(x^m\right) O\left(x^n\right)=O\left(x^{m+n}\right), \quad o\left(x^m\right) O\left(x^n\right)=o\left(x^{m+n}\right) .$$

Functions of bounded variation. If the function $f(x)$ is defined in the closed interval $(a, b)$, and there is a number $M$ such that
$$v=\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_0\right)\right|+\left|f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)\right|+\ldots+\left|f\left(x_n\right)-f\left(x_{n-1}\right)\right| \leqslant M,$$
for every subdivision $a=x_0<x_1<x_2<\ldots<x_{n-1}<x_n=b, f(x)$ is said to be of bounded variation in the interval $(a, b)$; and the upper bound of the sums $v$ for all possible selections of the subdivisions is called the total variation of $f(x)$ in the interval.* The total variation is of interest since it is related to the condition for existence of a Stieltjes integral (1-102), and to the existence of the length of a curve, and it is useful in the theory of Fourier series and Fourier integrals.

## 数学代写|数学物理方法代写Mathematical Methods代考|Leap at a discontinuity

1.094. Leap at a discontinuity. Let $f(x)$ be discontinuous at $a$ but bounded in an interval including $a$ as an interior point. Then for some positive $\delta, f(x)$ has upper and lower bounds $M, m$ in $(a-\delta, a+\delta)$. If $\delta^{\prime}<\delta$, the upper bound in $\left(a-\delta^{\prime}, a+\delta^{\prime}\right)$ cannot be greater, or the lower less, than in $(a-\delta, a+\delta)$. Hence the leap in $(a-\delta, a+\delta)$ has a non-negative limit as $\delta \rightarrow 0$. If this limit is zero the function is continuous at $a$; if positive, we call the limit the leap of the function at $a$.

If $f(x)=0(x<0), f(x)=1(x \geqslant 0)$, the leap at 0 is 1 . If $f(x)=0(x \neq 0), f(x)=1(x=0)$ the leap at 0 is again 1 . If $f(x)=\sin 1 / x$, the leap at $x=0$ is 2 , since values arbitrarily near 1 and $-1$ occur in any interval about 0.
1-10. Integration: Riemann, Stieltjes. Two different definitions of an integral will be used in this book.

Let $x_1, x_2, \ldots x_n$ be a set of increasing values of $x$ between $a$ and $b$, subject to all $x_{r+1}-x_r<\delta$ (we take when convenient $x_0=a, x_{n+1}=b$ ). Take in each interval a $\xi_r$, so that $x_r \leqslant \xi_r \leqslant x_{r+1}$; and form the sum
$$S_n=f\left(\xi_0\right)\left(x_1-a\right)+f\left(\xi_1\right)\left(x_2-x_1\right)+\ldots+f\left(\xi_n\right)\left(b-x_n\right) .$$
This sum will depend both on the values chosen for the $x_r$ and on those for $\xi_r$, unless $f(x)$ is constant; but if we take a sequence of values of $\delta$ tending to zero, taking at every stage $x_r$ and $\xi_r$ in accordance with the inequalities, and form the sum $S_n$ for each, these sums may tend to a limit, and this limit may be independent of the choice of the $x_r$ and $\xi_r$ at each stage. If so, this limit is called the Riemann integral and denoted by
$$\int_a^b f(x) d x$$

# 数学物理方法代写

## 数学代写数学物理方法代写Mathematical Methods代考|Orders of magnitude

1.08。数量级。如果作为 $x$ 趋于极限 $\phi(x)$ 趋于 0 或 $\infty$ ，和 $f(x) / \phi(x)$ 是有界的，我们说 $f(x)=O \phi(x)$ ，或 者那个 $f(x)$ 与 $\phi(x)$. 如果 $f(x) / \phi(x) \rightarrow 0$ 作为 $\phi(x) \rightarrow 0$ 我们写 $f(x)=o \phi(x)$. 如果 $f(x)$ 有界我们可以写 $f(x)=O(1)$. 这种表示法必须与物理学中的常用用法区分开来，在物理学中我们可以说木星和土星的质量具 有相同的数量级，大致意思是它们相差不超过 10 倍，而不存在任何质量问题。限制。在物理意义上，所比较的 量必须具有相同的量纲。这在数学意义上是不必要的。 $x$ 例如，可以是一个时间间隔和 $f(x)$ 声波传播的距离。 然后 $f(x)=O(x)$ 因为 $f(x) / x$ 是声速并且被假定为有限的。 注意
$$O\left(x^m\right) O\left(x^n\right)=O\left(x^{m+n}\right), \quad o\left(x^m\right) O\left(x^n\right)=o\left(x^{m+n}\right) .$$

$$v=\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_0\right)\right|+\left|f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)\right|+\ldots+\left|f\left(x_n\right)-f\left(x_{n-1}\right)\right| \leqslant M,$$

## 数学代写|数学物理方法代写Mathematical Methods代考|Leap at a discontinuity

1.094。在不连续处跳跃。让 $f(x)$ 不连续于 $a$ 但在一个区间内有界，包括 $a$ 作为内点。然后对于一些积极的 $\delta, f(x)$ 有上限和下限 $M, m$ 在 $(a-\delta, a+\delta)$. 如果 $\delta^{\prime}<\delta$, 上界在 $\left(a-\delta^{\prime}, a+\delta^{\prime}\right)$ 不能大于，也不能小于 $(a-\delta, a+\delta)$. 因此飞跃 $(a-\delta, a+\delta)$ 有一个非负极限作为 $\delta \rightarrow 0$. 如果此限制为零，则函数在以下位置连 续 $a$; 如果为正，我们将极限称为函数的飞跃 $a$.

$$S_n=f\left(\xi_0\right)\left(x_1-a\right)+f\left(\xi_1\right)\left(x_2-x_1\right)+\ldots+f\left(\xi_n\right)\left(b-x_n\right) .$$

$$\int_a^b f(x) d x$$

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