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# 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|MATH721 Piecewise Continuous Functions

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## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Piecewise Continuous Functions

Dirichlet’s theorem required that $f\left(x_o-\right)$ and $f\left(x_o+\right)$ both exist at $x_o$, and that $f$ satisfy the inequalities (10) at the point $x_o$. The existence of both $f\left(x_o-\right)$ and $f\left(x_o+\right)$ means that either $f$ is continuous at $x_o$, or in the terminology of Section $4.4$, has a removable or jump discontinuity at $x_o$. Functions that have only simple discontinuities, and at most a finite number on an interval $[a, b]$, are said to be piecewise continuous on $[a, b]$. We make this precise with the following definition.

DEFINITION 9.5.4 A real-valued function $f$ is piecewise continuous on $[a, b]$ if there exist finitely many points $a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$ such that
(a) $f$ is continuous on $\left(x_{i-1}, x_i\right)$ for all $i=1,2, \ldots, n$, and
(b) for each $i=0,1,2, \ldots, n, f\left(x_i+\right)$ and $f\left(x_i-\right)$ exist as finite limits.

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Differentiation of Fourier Series

Our final result of this section involves the derivative of a Fourier series. Consider the function $f(x)=x$. Since both $f$ and $f^{\prime}$ are continuous on $[-\pi, \pi]$, the Fourier series of $f$ converges to $f$ for all $x \in(-\pi, \pi)$. Therefore, by Example $9.3 .3(\mathrm{~b})$
$$x=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{n+1}}{n} \sin n x, \quad x \in(-\pi, \pi) .$$
The differentiated series
$$\sum_{n=1}^{\infty} 2(-1)^{n+1} \cos n x$$
does not converge since its $n$th term fails to approach zero as $n \rightarrow \infty$. The $2 \pi$ periodic extension of $f$ has discontinuities at $x=\pm(2 k-1) \pi, k \in \mathbb{N}$. It turns out that continuity of the periodic function is important for differentiability of the Fourier series. Sufficient conditions are given by the following theorem.

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Piecewise Continuous Functions

(b) 对于每个 $i=0,1,2, \ldots, n, f\left(x_i+\right)$ 和 $f\left(x_i-\right)$ 作为有限极限存在。

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Differentiation of Fourier Series

$$x=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{n+1}}{n} \sin n x, \quad x \in(-\pi, \pi) .$$

$$\sum_{n=1}^{\infty} 2(-1)^{n+1} \cos n x$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。