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数学代写|实分析代写Real Analysis代考|MATH351 Fatou’s Lemma

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数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Fatou’s Lemma

Our first major convergence theorem for integrals of nonnegative measurable functions is the following result of Fatou.

THEOREM 10.7.5 (Fatou’s Lemma) If $\left{f_n\right}$ is a sequence of nonnegative measurable functions on a measurable set $A$, and $\lim {n \rightarrow \infty} f_n(x)=f(x)$ a.e. on A, then $$\int_A f d \lambda \leq \varliminf{n \rightarrow \infty} \int_A f_n d \lambda .$$
Proof. Suppose first that the set $A$ is bounded. For each $k \in \mathbb{N}$, let
$$h_n(x)=\min \left{f_n(x), k\right} \quad \text { and } \quad h(x)=\min {f(x), k} .$$

Then for each $k \in \mathbb{N}$, the sequence $\left{h_n\right}$ converges a.e. to $h$ on $A$. Since $\left|h_n(x)\right| \leq k$ for all $x \in A$, by the bounded convergence theorem
$$\int_A \min {f, k} d \lambda=\varliminf_{n \rightarrow \infty} \int_A \min \left{f_n, k\right} d \lambda \leq \varliminf_{n \rightarrow \infty} \int_A f_n d \lambda .$$
Since the above holds for each $k \in \mathbb{N}$,
$$\int_A f d \lambda=\lim {k \rightarrow \infty} \int_A \min {f, k} d \lambda \leq \varliminf{n \rightarrow \infty} \int_A f_n d \lambda .$$

数学代写|实分析代写Real Analysis代考|The General Lebesgue Integral

We now turn our attention to the case where $f$ is an arbitrary real-valued measurable function defined on a measurable subset $A$ of $\mathbb{R}$. As in Exercise 10 of Section 10.5, we define the functions $f^{+}$and $f^{-}$on $A$ as follows:
$$f^{+}(x)=\max {f(x), 0}, \quad f^{-}(x)=\max {-f(x), 0} .$$
If $f(x)>0$, then $f^{+}(x)=f(x)$ and $f^{-}(x)=0$. On the other hand, if $f(x)<0$, then $f^{+}(x)=0$ and $f^{-}(x)=-f(x)$. If $f$ is measurable on $A$, then $f^{+}$and $f^{-}$are nonnegative measurable functions on $A$ with
$$f(x)=f^{+}(x)-f^{-}(x) \quad \text { and } \quad|f(x)|=f^{+}(x)+f^{-}(x)$$
for all $x \in A$.
Our natural inclination is to define the integral of $f$ over $A$ by
$$\int_A f d \lambda=\int_A f^{+} d \lambda-\int_A f^{-} d \lambda .$$

数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Fatou’s Lemma

$$\int_A f d \lambda \leq \underline{\lim } n \rightarrow \infty \int_A f_n d \lambda .$$

〈left 缺少或无法识别的分隔符

、left 缺少或无法识别的分隔符

$$\int_A f d \lambda=\lim k \rightarrow \infty \int_A \min f, k d \lambda \leq \underline{\lim } n \rightarrow \infty \int_A f_n d \lambda .$$

数学代写|实分析代写Real Analysis代考|The General Lebesgue Integral

$$f^{+}(x)=\max f(x), 0, \quad f^{-}(x)=\max -f(x), 0 .$$

$$f(x)=f^{+}(x)-f^{-}(x) \quad \text { and } \quad|f(x)|=f^{+}(x)+f^{-}(x)$$

$$\int_A f d \lambda=\int_A f^{+} d \lambda-\int_A f^{-} d \lambda .$$

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。