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# 数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|MATH393 𝐹[𝑥]/⟨𝑔(𝑥)⟩ is not a field

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## 数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|𝐹[𝑥]/⟨𝑔(𝑥)⟩ is not a field

Thus far, we have seen two examples of quotient rings involving polynomials:

• $\mathbb{Z}_3[x] /\left\langle x^2\right\rangle$ in Section $32.3$.
• $\mathbb{Z}_7[x] /\left\langle x^2-1\right\rangle$ in this chapter.
Each of these has a zero divisor and thus is not a field. Moreover, we found these zero divisors by factoring. With $\mathbb{Z}_3[x] /\left\langle x^2\right\rangle$, we consider the factorization $x^2=x \cdot x$. The element $x+\left\langle x^2\right\rangle \in \mathbb{Z}_3[x] /\left\langle x^2\right\rangle$ is non-zero, because $x$ is not a multiple of $x^2$. And we have
$$\left(x+\left\langle x^2\right\rangle\right) \cdot\left(x+\left\langle x^2\right\rangle\right)=x^2+\left\langle x^2\right\rangle=0+\left\langle x^2\right\rangle,$$
so that $x+\left\langle x^2\right\rangle$ is a zero divisor in $\mathbb{Z}_3[x] /\left\langle x^2\right\rangle$. With $\mathbb{Z}_7[x] /\left\langle x^2-1\right\rangle$, we factor $x^2-1=$ $(x+1) \cdot(x-1)$ and proceed similarly to find zero divisors $(x+1)+\left\langle x^2-1\right\rangle$ and $(x-1)+\left\langle x^2-1\right\rangle$. Here is the generalization, whose proof is left for you as an exercise.

## 数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|𝐹[𝑥]/⟨𝑔(𝑥)⟩ is a field

Based on Theorem 33.8, we might conjecture the following:
Let $F$ be a field and fix $g(x) \in F[x]$. If $g(x)$ is unfactorable, then $F[x] /\langle g(x)\rangle$ is $a$ field.
Below are some examples that support the conjecture.
Example 33.10. Consider the polynomial $g(x)=x^2-2$, which is unfactorable in $\mathbb{Q}[x]$. (See Example 30.21.) Do we also know that the quotient ring $\mathbb{Q}[x] /\left\langle x^2-2\right\rangle$ is a field? In Example 32.13, we used the First Isomorphism Theorem to derive a ring isomorphism $\mathbb{Q}[x] /\left\langle x^2-2\right\rangle \cong \mathbb{Q}(\sqrt{2})$. Moreover, $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ is a field. (See Chapter 27, Exercise #14(c).) Therefore $\mathbb{Q}[x] /\left\langle x^2-2\right\rangle$ is a field, as desired.

Example 33.11. Consider $g(x)=x^2+1 \in \mathbb{Z}_3[x]$. We have $g(0)=1, g(1)=2$, and $g(2)=2$, so that $g(x)$ does not have a root in $\mathbb{Z}_3$. And since $\operatorname{deg} g(x)=2$, we conclude that $g(x)$ is unfactorable in $\mathbb{Z}_3[x]$ by Theorem $30.19$. In the exercises, you’ll verify that the quotient ring $\mathbb{Z}_3[x] /\left\langle x^2+1\right\rangle$ is indeed a field.

Example 33.12. Consider $g(x)=x^2+1 \in \mathbb{Z}_7[x]$. In the exercises, you’ll verify the following:

• $g(x)$ does not have a root in $\mathbb{Z}_7$, so that $g(x)$ is unfactorable in $\mathbb{Z}_7[x]$.
• The quotient ring $\mathbb{Z}_7[x] /\left\langle x^2+1\right\rangle$ is a field.
Hence this example also supports our conjecture.

## 数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考 $\mid F[x] /\langle g(x)\rangle$ is not a field

• $\mathbb{Z}_3[x] /\left\langle x^2\right\rangle$ 在部分 $32.3$.
• $\mathbb{Z}_7[x] /\left\langle x^2-1\right\rangle$ 在这一章当中。
其中每一个都有一个零除数，因此不是一个字段。此外，我们通过因式分解找到了这些零因 子。和 $\mathbb{Z}_3[x] /\left\langle x^2\right\rangle$ ，我们考虑因式分解 $x^2=x \cdot x$. 元素 $x+\left\langle x^2\right\rangle \in \mathbb{Z}_3[x] /\left\langle x^2\right\rangle$ 是非零 的，因为 $x$ 不是的倍数 $x^2$. 我们有
$$\left(x+\left\langle x^2\right\rangle\right) \cdot\left(x+\left\langle x^2\right\rangle\right)=x^2+\left\langle x^2\right\rangle=0+\left\langle x^2\right\rangle,$$
以便 $x+\left\langle x^2\right\rangle$ 是一个零因子 $\mathbb{Z}_3[x] /\left\langle x^2\right\rangle$. 和 $\mathbb{Z}_7[x] /\left\langle x^2-1\right\rangle$, 我们考虑 $x^2-1=$ $(x+1) \cdot(x-1)$ 并以类似的方式找到零除数 $(x+1)+\left\langle x^2-1\right\rangle$ 和 $(x-1)+\left\langle x^2-1\right\rangle$. 这是概括，其证明留给您作为练习。

## 数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考 $\mid F[x] /\langle g(x)\rangle$ is a field

$\mathbb{Q}[x] /\left\langle x^2-2\right\rangle \cong \mathbb{Q}(\sqrt{2})$. 而且， $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 是一个字段。（参见第 27 章，练习#14(c)。) 因此 $\mathbb{Q}[x] /\left\langle x^2-2\right\rangle$ 是一个字段，根据需要。

• $g(x)$ 没有根 $\mathbb{Z}_7$, 以便 $g(x)$ 在 $\mathbb{Z}_7[x]$.
• 商环 $\mathbb{Z}_7[x] /\left\langle x^2+1\right\rangle$ 是一个字段。 因此这个例子也支持了我们的猜想。

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