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# 复分析代考_Complex analysis代考_MATH3979 Poles, Residues, and All That

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## 复分析代考_Complex analysis代考_Poles, Residues, and All That

10.1. Residues. A point $z_0$ is a singular point of a function $f$ if $f$ not analytic at $z_0$, but is analytic at some point of each neighborhood of $z_0$. A singular point $z_0$ of $f$ is said to be isolated if there is a neighborhood of $z_0$ which contains no singular points of $f$ save $z_0$. In other words, $f$ is analytic on some region $0<\left|z-z_0\right|<\varepsilon$.
Examples
The function $f$ given by
$$f(z)=\frac{1}{z\left(z^2+4\right)}$$
has isolated singular points at $z=0, z=2 i$, and $z=-2 i$.

## 复分析代考_Complex analysis代考_Poles and other singularities

10.2. Poles and other singularities. In order for the Residue Theorem to be of much help in evaluating integrals, there needs to be some better way of computing the residue-finding the Laurent expansion about each isolated singular point is a chore. We shall now see that in the case of a special but commonly occurring type of singularity the residue is easy to find. Suppose $z_0$ is an isolated singularity of $f$ and suppose that the Laurent series of $f$ at $z_0$ contains only a finite number of terms involving negative powers of $z-z_0$. Thus,
$$f(z)=\frac{c_{-n}}{\left(z-z_0\right)^n}+\frac{c_{-n+1}}{\left(z-z_0\right)^{n-1}}+\ldots+\frac{c_{-1}}{\left(z-z_0\right)}+c_0+c_1\left(z-z_0\right)+\ldots$$
Multiply this expression by $\left(z-z_0\right)^n$ :
$$\phi(z)=\left(z-z_0\right)^n f(z)=c_{-n}+c_{-n+1}\left(z-z_0\right)+\ldots+c_{-1}\left(z-z_0\right)^{n-1}+\ldots .$$

## 复分析代考_Complex analysis代考_Poles, Residues, and All That

10.1. 残留物。一个点 $z_0$ 是函数的奇异点 $f$ 如果 $f$ 不分析 $z_0$ ，但是在的每个邻域的某个点上是解析的 $z_0$. 奇异点 $z_0$ 的 $f$ 如果有一个邻 域，则据说是孤立的 $z_0$ 其中不包含奇异点 $f$ 节省 $z_0$. 换句话说， $f$ 是对某个区域的解析 $0<\left|z-z_0\right|<\varepsilon$.

$$f(z)=\frac{1}{z\left(z^2+4\right)}$$

## 复分析代考_Complex analysis代考_Poles and other singularities

10.2. 极点和其他奇点。为了让留数定理对计算积分有很大帮助，需要有一些更好的方法来计算留数一一找到关于每个孤立奇异点 的 Laurent 展开是一件苦差事。我们现在将看到，在一种特殊但常见的奇点类型的情况下，留数很容易找到。认为 $z_0$ 是一个孤立 的奇点 $f$ 并假设 Laurent 系列 $f$ 在 $z_0$ 仅包含有限数量的涉及负幂的项 $z-z_0$. 因此，
$$f(z)=\frac{c_{-n}}{\left(z-z_0\right)^n}+\frac{c_{-n+1}}{\left(z-z_0\right)^{n-1}}+\ldots+\frac{c_{-1}}{\left(z-z_0\right)}+c_0+c_1\left(z-z_0\right)+\ldots$$

$$\phi(z)=\left(z-z_0\right)^n f(z)=c_{-n}+c_{-n+1}\left(z-z_0\right)+\ldots+c_{-1}\left(z-z_0\right)^{n-1}+\ldots$$

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。