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# 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|MATH351 The Fourier transform on S

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## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|The Fourier transform on S

The Fourier transform of a function $f \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ is defined by
$$\hat{f}(\xi)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2 \pi i x \xi} d x .$$
Some simple properties of the Fourier transform are gathered in the following proposition. We use the notation
$$f(x) \longrightarrow \hat{f}(\xi)$$
to mean that $\hat{f}$ denotes the Fourier transform of $f$.
Proposition 1.2 If $f \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ then:
(i) $f(x+h) \longrightarrow \hat{f}(\xi) e^{2 \pi i h \xi}$ whenever $h \in \mathbb{R}$.
(ii) $f(x) e^{-2 \pi i x h} \longrightarrow \hat{f}(\xi+h)$ whenever $h \in \mathbb{R}$.
(iii) $f(\delta x) \longrightarrow \delta^{-1} \hat{f}\left(\delta^{-1} \xi\right)$ whenever $\delta>0$.
(iv) $f^{\prime}(x) \longrightarrow 2 \pi i \xi \hat{f}(\xi)$.
(v) $-2 \pi i x f(x) \longrightarrow \frac{d}{d \xi} \hat{f}(\xi)$

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|The Gaussians as good kernels

We begin by considering the case $a=\pi$ because of the normalization:
$(6)$
$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\pi x^2} d x=1 .$$
To see why (6) is true, we use the multiplicative property of the exponential to reduce the calculation to a two-dimensional integral. More precisely, we can argue as follows:
\begin{aligned} \left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\pi x^2} d x\right)^2 & =\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\pi\left(x^2+y^2\right)} d x d y \ & =\int_0^{2 \pi} \int_0^{\infty} e^{-\pi r^2} r d r d \theta \ & =\int_0^{\infty} 2 \pi r e^{-\pi r^2} d r \ & =\left[-e^{-\pi r^2}\right]_0^{\infty} \ & =1, \end{aligned}
where we have evaluated the two-dimensional integral using polar coordinates.

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|The Fourier transform on S

$$\hat{f}(\xi)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2 \pi i x \xi} d x$$

$$f(x) \longrightarrow \hat{f}(\xi)$$

(二) $f(x) e^{-2 \pi i x h} \longrightarrow \hat{f}(\xi+h)$ 每当 $h \in \mathbb{R}$.
(三) $f(\delta x) \longrightarrow \delta^{-1} \hat{f}\left(\delta^{-1} \xi\right)$ 每当 $\delta>0$.
(四) $f^{\prime}(x) \longrightarrow 2 \pi i \xi \hat{f}(\xi)$.
(在) $-2 \pi i x f(x) \longrightarrow \frac{d}{d \xi} \hat{f}(\xi)$

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|The Gaussians as good kernels

$(6)$
$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\pi x^2} d x=1$$

$$\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\pi x^2} d x\right)^2=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\pi\left(x^2+y^2\right)} d x d y \quad=\int_0^{2 \pi} \int_0^{\infty} e^{-\pi r^2} r d r d \theta=\int_0^{\infty} 2 \pi r e^{-\pi r^2} d r \quad=\left[-e^{-\pi r^2}\right]_0^{\infty}=1$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。