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# 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|MATH721 Integration on Rd

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## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Integration on Rd

Since we shall be dealing with functions on $\mathbb{R}^d$, we will need to discuss some aspects of integration of such functions. A more detailed review of integration on $\mathbb{R}^d$ is given in the appendix.

A continuous complex-valued function $f$ on $\mathbb{R}^d$ is said to be rapidly decreasing if for every multi-index $\alpha$ the function $\left|x^\alpha f(x)\right|$ is bounded. Equivalently, a continuous function is of rapid decrease if
$$\sup {x \in \mathbb{R}^d}|x|^k|f(x)|<\infty \quad \text { for every } k=0,1,2, \ldots .$$ Given a function of rapid decrease, we define $$\int{\mathbb{R}^d} f(x) d x=\lim {N \rightarrow \infty} \int{Q_N} f(x) d x,$$
where $Q_N$ denotes the closed cube centered at the origin, with sides of length $N$ parallel to the coordinate axis, that is,
$$Q_N=\left{x \in \mathbb{R}^d:\left|x_i\right| \leq N / 2 \quad \text { for } i=1, \ldots, d\right}$$

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Polar coordinates

It will be convenient to introduce polar coordinates in $\mathbb{R}^d$ and find the corresponding integration formula. We begin with two examples which correspond to the case $d=2$ and $d=3$. (A more elaborate discussion applying to all $d$ is contained in the appendix.)

Example 1. In $\mathbb{R}^2$, polar coordinates are given by $(r, \theta)$ with $r \geq 0$ and $0 \leq \theta<2 \pi$. The Jacobian of the change of variables is equal to $r$, so that
$$\int_{\mathbb{R}^2} f(x) d x=\int_0^{2 \pi} \int_0^{\infty} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r d \theta$$
Now we may write a point on the unit circle $S^1$ as $\gamma=(\cos \theta, \sin \theta)$, and given a function $g$ on the circle, we define its integral over $S^1$ by
$$\int_{S^1} g(\gamma) d \sigma(\gamma)=\int_0^{2 \pi} g(\cos \theta, \sin \theta) d \theta$$

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Integration on Rd

$$\sup x \in \mathbb{R}^d|x|^k|f(x)|<\infty \quad \text { for every } k=0,1,2, \ldots .$$

$$\int \mathbb{R}^d f(x) d x=\lim N \rightarrow \infty \int Q_N f(x) d x,$$

$\backslash$ left 缺少或无法识别的分隔符

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Polar coordinates

$$\int_{\mathbb{R}^2} f(x) d x=\int_0^{2 \pi} \int_0^{\infty} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r d \theta$$

$$\int_{S^1} g(\gamma) d \sigma(\gamma)=\int_0^{2 \pi} g(\cos \theta, \sin \theta) d \theta$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。