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# 数学代写|概率论与统计代考Probaility Theory and Statics代写|KMA305 Convergence of Probability Measures on C([0,∞))

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## 数学代写|概率论与统计代考Probaility Theory and Statics代写|Convergence of Probability Measures on C([0,∞))

Let $X$ and $\left(X^n\right){n \in \mathbb{N}}$ be random variables with values in $C([0, \infty)$ ) (i.e., continuous stochastic processes) with distributions $\mathbf{P}_X$ and $\left(\mathbf{P}{X^n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$.

Definition $21.35$ We say that the finite-dimensional distributions of $\left(X^n\right)$ converge to those of $X$ if, for every $k \in \mathbb{N}$ and $t_1, \ldots, t_k \in[0, \infty)$, we have
$$\left(X_{t_1}^n, \ldots, X_{t_k}^n\right) \stackrel{n \rightarrow \infty}{\Longrightarrow}\left(X_{t_1}, \ldots, X_{t_k}\right) .$$
In this case, we write $X^n \stackrel{n \rightarrow \infty}{\underset{\mathrm{fdd}}{\Longrightarrow}} X$ or $\mathbf{P}_{X^n} \stackrel{n \rightarrow \infty}{\stackrel{\mathrm{fdd}}{\longrightarrow}} \mathbf{P}_X$.
Lemma 21.36 $P_n \underset{\mathrm{fdd}}{\stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow}} P$ and $P_n \underset{\mathrm{fdd}}{\stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow}} Q$ imply $P=Q$.
Proof By Theorem 14.12(iii), the finite-dimensional distributions determine $P$ uniquely.
Theorem 21.37 Weak convergence in $\mathcal{M}_1(\Omega, d)$ implies fdd-convergence:
$$P_n \stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} P \quad \Longrightarrow \quad P_n \stackrel{n \rightarrow \infty}{\stackrel{\mathrm{fdd}}{\longrightarrow}} P .$$

## 数学代写|概率论与统计代考Probaility Theory and Statics代写|Donsker’s Theorem

Let $Y_1, Y_2, \ldots$ be i.i.d. random variables with $\mathbf{E}\left[Y_1\right]=0$ and $\operatorname{Var}\left[Y_1\right]=\sigma^2>0$. For $t>0$, let $S_t^n=\sum_{i=1}^{\lfloor n t\rfloor} Y_i$ and $\widetilde{S}t^n=\frac{1}{\sqrt{\sigma^2 n}} S_t^n$. By the central limit theorem, for $t>s \geq 0$, we have $\mathcal{L}\left[\tilde{S}_t^n-\widetilde{S}_s^n\right] \stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} \mathcal{N}{0, t-s}$.
Let $B=\left(B_t, t \geq 0\right)$ be a Brownian motion. Then
$$\mathcal{L}\left[\tilde{S}t^n-\widetilde{S}_s^n\right] \stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} \mathcal{L}\left[B_t-B_s\right] \quad \text { for any } t>s \geq 0 .$$ For $N \in \mathbb{N}$ and $0=t_0{t_i}^n-\widetilde{S}{t{i-1}}^n, i=$ $1, \ldots, N$, are independent, and hence, we have
$$\mathcal{L}\left[\left(\widetilde{S}{t_1}^n-\widetilde{S}{t_0}^n, \ldots, \widetilde{S}{t_N}^n-\widetilde{S}{t_{N-1}}^n\right)\right] \stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} \mathcal{L}\left[\left(B_{t_1}-B_{t_0}, \ldots, B_{t_N}-B_{t_{N-1}}\right)\right]$$
We infer that
$$\mathcal{L}\left[\left(\tilde{S}{t_1}^n, \ldots, \widetilde{S}{t_N}^n\right)\right] \stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} \mathcal{L}\left[\left(B_{t_1}, \ldots, B_{t_N}\right)\right]$$
We now define $\bar{S}^n$ as $\widetilde{S}^n$ but linearly interpolated:
$$\bar{S}t^n=\frac{1}{\sqrt{\sigma^2 n}} \sum{i=1}^{\lfloor n t\rfloor} Y_i+\frac{t n-\lfloor t n\rfloor}{\sqrt{\sigma^2 n}} Y_{\lfloor n t\rfloor+1} .$$

# 概率论与统计代考

## 数学代写|概率论与统计代考Probaility Theory and Statics代 写|Convergence of Probability Measures on $C([0, \infty))$

$$\left(X_{t_1}^n, \ldots, X_{t_k}^n\right) \stackrel{n \rightarrow \infty}{\Longrightarrow}\left(X_{t_1}, \ldots, X_{t_k}\right) .$$

$$P_n \stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} P \quad \Longrightarrow \quad P_n \stackrel{n \rightarrow \infty}{\stackrel{\mathrm{fdd}}{\longrightarrow}} P .$$

## 数学代写|概率论与统计代考Probaility Theory and Statics代 写|Donsker’s Theorem

$$\mathcal{L}\left[\left(\tilde{S} t_1{ }^n, \ldots, \widetilde{S} t_N{ }^n\right)\right] \stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} \mathcal{L}\left[\left(B_{t_1}, \ldots, B_{t_N}\right)\right]$$

$$\bar{S} t^n=\frac{1}{\sqrt{\sigma^2 n}} \sum i=1^{\lfloor n t\rfloor} Y_i+\frac{t n-\lfloor t n\rfloor}{\sqrt{\sigma^2 n}} Y_{\lfloor n t\rfloor+1} .$$

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。